поле направлений дифференциального уравнения это

Поле направлений

0287158497

Смотреть что такое «Поле направлений» в других словарях:

Поле направлений — (штрихи) и изоклины Поле направлений геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений … Википедия

Поле (в сельском хоз-ве) — Поле, 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3) Ограниченный… … Большая советская энциклопедия

Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия

поле допуска перпендикулярности оси (или прямой) относительно плоскости — 1) область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен допуску перпендикулярности TPR, а ось перпендикулярна к базовой плоскости; 2) область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого… … Справочник технического переводчика

поле допуска прямолинейности оси (или линии) в пространстве — 1) область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен допуску прямолинейности TFL; 2) область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого равны допускам прямолинейности оси (линии) в… … Справочник технического переводчика

поле позиционного допуска оси (или прямой) в пространстве — 1) Область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен позиционному допуску в диаметральном выражении TPP или удвоенному позиционному допуску в радиусном выражении R, а ось совпадает с номинальным расположением рассматриваемой… … Справочник технического переводчика

Лодейное Поле — Город Лодейное Поле Флаг Герб … Википедия

АТ-поле (Евангелион) — Это глоссарий терминов не вошедших в базовые статьи о линейке аниме и манги Neon Genesis Evangelion. Содержание 1 Снаряжение 1.1 AT Поле 1.2 LCL 1.3 … Википедия

АТ-поле — Это глоссарий терминов не вошедших в базовые статьи о линейке аниме и манги Neon Genesis Evangelion. Содержание 1 Снаряжение 1.1 AT Поле 1.2 LCL 1.3 … Википедия

Источник

Поле направлений

220px Isocline 2

magnify clip

По́ле направле́ний — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений

bbcca587be39b290c9dbb1d9b351b9a9.

Для системы в симметричной форме

3b81bf0fbe1216f2d21f53d771d9f95f

среди направлений поля возможны ортогональные оси 556f2253a7bc235061504d13c38fab39.

Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.

Полезное

Смотреть что такое «Поле направлений» в других словарях:

Поле направлений — совокупность точек плоскости хОу, в каждой из которых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y = f (x, у), то в каждой точке (х0, у0)… … Большая советская энциклопедия

Поле (в сельском хоз-ве) — Поле, 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3) Ограниченный… … Большая советская энциклопедия

Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия

поле допуска перпендикулярности оси (или прямой) относительно плоскости — 1) область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен допуску перпендикулярности TPR, а ось перпендикулярна к базовой плоскости; 2) область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого… … Справочник технического переводчика

поле допуска прямолинейности оси (или линии) в пространстве — 1) область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен допуску прямолинейности TFL; 2) область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого равны допускам прямолинейности оси (линии) в… … Справочник технического переводчика

поле позиционного допуска оси (или прямой) в пространстве — 1) Область в пространстве, ограниченная цилиндром, диаметр которого равен позиционному допуску в диаметральном выражении TPP или удвоенному позиционному допуску в радиусном выражении R, а ось совпадает с номинальным расположением рассматриваемой… … Справочник технического переводчика

Лодейное Поле — Город Лодейное Поле Флаг Герб … Википедия

АТ-поле (Евангелион) — Это глоссарий терминов не вошедших в базовые статьи о линейке аниме и манги Neon Genesis Evangelion. Содержание 1 Снаряжение 1.1 AT Поле 1.2 LCL 1.3 … Википедия

АТ-поле — Это глоссарий терминов не вошедших в базовые статьи о линейке аниме и манги Neon Genesis Evangelion. Содержание 1 Снаряжение 1.1 AT Поле 1.2 LCL 1.3 … Википедия

Источник

Поле направлений дифференциального уравнения это

уЙНЧПМЙЮЕУЛЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛ

im3

im4.

рПТСДЛПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС РПТСДПЛ ОБЙЧЩУЫЕК РТПЙЪЧПДОПК, ЧИПДСЭЕК Ч ХТБЧОЕОЙЕ.

оБРТЙНЕТ, ХТБЧОЕОЙЕ
im5
ЕУФШ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ, Б ХТБЧОЕОЙЕ
im6
— ХТБЧОЕОЙЕ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

тЕЫЕОЙЕН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС ЧУСЛБС ЖХОЛГЙС y(x), ЛПФПТБС ВХДХЮЙ РПДУФБЧМЕООПК Ч ХТБЧОЕОЙЕ, ПВТБЭБЕФ ЕЗП Ч ФПЦДЕУФЧП. тЕЫЕОЙЕ ЕЭЕ ОБЪЩЧБЕФУС ЙОФЕЗТБМПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

sample

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ im7.

жХОЛГЙС im8СЧМСЕФУС ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС.

дЕКУФЧЙФЕМШОП,
im9
Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП:
im10.
тЕЫЕОЙЕН ТБУУНБФТЙЧБЕНПЗП ХТБЧОЕОЙС ВХДХФ Й ЖХОЛГЙЙ
im11
Й ЧППВЭЕ ЖХОЛГЙЙ
im12, ЗДЕ im13Й im14— РТПЙЪЧПМШОЩЕ РПУФПСООЩЕ.
ч УБНПН ДЕМЕ
im15
Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП
im16.

ъБНЕФЙН, ЮФП ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ВЕУЮЙУМЕООПЕ НОПЦЕУФЧП ТЕЫЕОЙК ЧЙДБ: im12.

тЕЫЕОЙЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩИ ХТБЧОЕОЙК РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

definition

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ЙНЕЕФ ЧЙД im1.

пВЭЕЕ Й ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ

sample

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ
im8.

пВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС СЧМСЕФУС УЕНЕКУФЧП ЖХОЛГЙК
im9.

дЕКУФЧЙФЕМШОП, РТЙ МАВПН ЪОБЮЕОЙЙ C ЬФБ ЖХОЛГЙС ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХТБЧОЕОЙА: im10.
лТПНЕ ФПЗП, ЧУЕЗДБ НПЦОП ОБКФЙ ФБЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ C, ЮФП УППФЧЕФУФЧХАЭЕЕ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ВХДЕФ ХДПЧМЕФЧПТСФШ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА.

ьФП ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЙУРПМШЪХС ОЙЦЕРТЙЧЕДЕООЩК БРРМЕФ ДМС РПУФТПЕОЙС РПМС ОБРТБЧМЕОЙК Й ЙОФЕЗТБМШОЩИ ЛТЙЧЩИ ДМС ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ.

тЕЫЙФШ ЙМЙ РТПЙОФЕЗТЙТПЧБФШ ДБООПЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЬФП ЪОБЮЙФ:

Б) ОБКФЙ ЕЗП ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙМЙ ПВЭЙК ЙОФЕЗТБМ, ЕУМЙ ОЕ ЪБДБОЩ ОБЮБМШОЩЕ ХУМПЧЙС,

В) ОБКФЙ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ЪБДБООЩН ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН.

goback

зЕПНЕФТЙЮЕУЛБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

sample

рТЙНЕТ

фЕПТЕНБ УХЭЕУФЧПЧБОЙС Й ЕДЙОУФЧЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

Источник

Лекция 1. Понятие дифференциального уравнения

Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям

Рост населения. Мальтузианская модель

Рост экономики. Модель Солоу

Механическая система. Падающий шарик

Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз с ускорением. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.

Простейшие дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение общего вида

Рассмотрим несколько примеров.

Нулевая правая часть

Постоянная правая часть

Заметим, что в этом случае \( C \) задаёт значение функции в начальный момент времени \( t=0 \).

Правая часть, зависящая только от времени

Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать константу интегрирования явным образом.

Начальные условия. Задача Коши

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое начальным условием — значение решение в какой-то момент времени (не обязательно \( t=0 \)).

Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена задача Коши.

Источник

Поле направлений дифференциального уравнения это

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).
001

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M0

С = y0002, y = x 2 – 002+ y0.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – 002+ y0.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0. 003 004

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

005= f (t). (1.7)

Интегрирование уравнения (1.7) 005= f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = 006f (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = 006f (t) dt + C t = t0, x = x0. Получим

x0 = 007f (t) dt + C,

откуда C = x0; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = 006f (t) dt + x0. (1.10)

Условие (1.9) x = x0 при t = t0 называется начальным условием, а числа t0 и x0начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x 008009= 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ = 106

y = 024106dx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = 010= p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

010= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M0 (x0, y0), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M0 (x0, y0).

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.
011

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = 010= p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

Например, для интегральных кривых уравнения

010= yx

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = 010= p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) 010= x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.
013

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = 010= p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

014= 015. (3.6)

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие

016= y0.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a, 017.

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0hxx0 + h, удовлетворяющее начальному условию 016= y0.

3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

I. Уравнения с разделяющимися переменными II. Уравнения, однородные относительно переменных III. Уравнения в полных дифференциалах IV. Линейные дифференциальные уравнения
y’ = f (x) g ( y) y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

021= M(x, y),

I. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

022dx + 023dy = 0,

где 022dx — дифференциал некоторой функции от x,

023dy — дифференциал некоторой функции от y.

Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

024 022dx + 024 023dy = C.

Частный интеграл, удовлетворяющий условию 016= y0, выражается

025 022dx + 026 023dy = 0.

Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то 027= f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

Действительно, всякое решение, например y = y0, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

II. Уравнения, однородные относительно переменных

Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = 028в тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f 0301, 029 031, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Обозначив f 0301, 029 031= φ030029031, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

010= φ030029031.

Как интегрируется уравнение y’ = φ030029031?

Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

029= u,

где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

Дифференцируя по x, имеем:

тогда данное уравнение примет вид:

034x = φ(u) – u.

Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

032= 033.

024 032= 024 033+ C,

024 032= ln x + ln C

024 032= ln Cx,

причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

После взятия квадратуры, подставляем u = 029.

y’ = u0 и φ030029031= φ(u0) равны, тогда u0 = φ030029031, xdx = [φ(u) – u] dx.

III. Уравнения в полных дифференциалах

Если существует функция u(x, y) такая, что

M(x, y) = 021, N(x, y) = 020,

то дифференциальное уравнение

можно переписать в форме

021dx + 020dy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

В этом случае, данное уравнение имеет решение

Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

Т.к. 021= M(x, y), то

u(x, y) = 024M(x, y) dx + C(y), (5.3)

где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что 020= N(x, y), но

020= 035030024M(x, y) dx + C(y)031.

035030024M(x, y) dx 031+ C’(y) = N(x, y).

Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

IV. Линейные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

010= – P(x) y

036= – P(x) dx.

Проинтегрируем последнее уравнение:

024 036= – 024P(x) dx + C,

ln y = ln C024P(x) dx.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

y = C037.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

y = C(x)037, (5.4)

где C(x) — искомая функция от x.

Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

y’ = C’(x) 037+ C(x) 037(– P(x))

и, подставив в данное уравнение, получим

C’(x) = Q(x)038.

Интегрированием находим C(x):

C(x) = 024Q(x) 038+ C.

Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) 037и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методом Бернулли.

На примере решения уравнения y’039= x.

Пусть решение имеет вид:

u’v + v’u040= x.

u’v + u030v’041031. ( ∗ )

Пусть v’041= 0.

042= 043,

044= 045,

u’ = 047.

Интегрированием находим u:

u = 024 046= – 028+ C,

y = 030028+ C 031x 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

048 049y = φ(x) = ∞.

Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

Воспользуемся основным соотношением:

приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

050(6.4, а)

Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) 050, получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

051.

Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) 050выразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

052

Это уравнение называется уравнением Клеро.

Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

Это уравнение распадается на два:

Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

053(6.10)

которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

054

где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

055

Но эти уравнения отличаются от (6.10) 053только обозначением параметра.

В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

3.7. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

Это уравнение можно переписать в виде

056( y 1 – m ) + p(x)y 1 – m = q(x).

Введя новую неизвестную функцию z:

придем к уравнению

056z’ + p(x)z = q(x),

Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

y = 057.

Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) 060= 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, 005), зависящей от времени t, положения x и скорости 005в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

m 062= F (t, x, 005), (8.3)

где 062есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m 062= F (t, x, 005) в виде

062= f (t, x, 005), (8.4)

где f = 063.

Для уравнения n-го порядка

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y = y0, y ‘ = 064, …, y (n – 1) = 065при x = x0, (8.8)

В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y0, y ‘ = 064, …, y (n – 1) = 065при x = x0 принимают вид

y = y0, y ‘ = 064при x = x0.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

tg α0 = 064.

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, 064, …, 065), где x0 ∈ (a, b), а y0, 064, …, 065— любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, 064, …, 065можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

066(8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y0, 064, …, 065можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.

3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, 064, …, 065при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, 064(x0) = 0, …, 065(x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

L068+ p1 (x) 069+ pn – 1 (x) 071+ pn (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

L070+ p1 (x) 071+ p2 (x).

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

Из этих основных свойств оператора L следует, что

L030 072Ck yk 031= 072Ck L(yk).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = 073) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = 073) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

откуда вытекает, что

075≠ const (a (11.2) y1, y2, …, ym (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

α1, α2, …, αn (a (11.3) α1, α2, …, αn (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W(x) = 076

Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α1, α2, …, αn (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

W(x) = W(x0) 077. (11.4)

Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α1, α2, …, αn (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x0 ∈ (a, b).

Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) 074Ckyk удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

1. Система уравнений

078(11.6)

2. Функция (11.1) 074Ckyk по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn.

Формула (11.1) 074Ckyk содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y = y0, y ‘ = 064, …, y (n – 1) = 065при x = x0 (11.7)

где y0, 064, …, 065можно задавать произвольно, а x0 брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) 078вместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x0, y0, 064, …, 065и разрешить полученную систему

079(11.8)

относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. Так как определитель системы (11.8) 079есть W(x0) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

C1 = 080, C2 = 081, …, Cn = 082

y = 074 083yk.

Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ‘ + an y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ1 и λ2. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ1 и λ2, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

y1 = 084, y1 = 085. (12.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

086= 087

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y1 = 084, y1 = 085можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

W(x) = 088= 087(λ2λ1) ≠ 0.

Следовательно, частные решения y1 = 084, y1 = 085образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = C1 084+ C2 085.

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

Эти решения, очевидно, независимы, так как

075≠ const.

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ2 = abi соответствуют действительные частные решения

Если корни λ1 и λ2 чисто мнимые, т. е. λ1 = ib и λ2 = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

есть общее решение этого уравнения.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ1 = λ2 = – 090. Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

y1 = 084(12.15)

y1 = 093. (12.15, а)

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

y2 = x 093(12.16)

094= 093090x093,

095= – p 093+ 092x093. (12.17)

L(x093) = – px 093+ 092x 093+ px 093091x 093+ qx 093= 030092+ q 031x 093≡ 0 (12.18)

так как 092q = 0.

Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = 093(C1 + C2x).

3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

z = 074Ck zk (13.5)

y = y1 + 074Ck zk (13.6)

Общее решение (13.6) y = y1 + 074Ck zk дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x0, y0, 064, …, 065из области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

и известно, что y1 есть частное решение уравнения

а y2 — частное решение уравнения

3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

W(x) = 096≠ 0 (15.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 имеет вид

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C1(x) и C2(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C1(x) и C2(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от C1(x) и C2(x), положим

099(x)z1 + 100(x)z2 = 0.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C1(x) и C2(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

y’ = C1(x) 097+ C2(x)098. (15.7)

Вычисляя теперь , получим

= C1(x) 102+ C2(x) 101+ 099(x) 097+ 100(x)098. (15.8)

C1(x)L(z1) + C1(x)L(z2) + 099(x) 097+ 100(x) 098= f (x).

Здесь в силу (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

099(x) 097+ 100(x) 098= f (x).

Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

103

Эта система в силу (15.4) W(x) = 096≠ 0 однозначно разрешима относительно 099(x) и 100(x). Решая ее, получим

099(x) = φ1(x) и 100(x) = φ2(x),

где φ1(x) и φ2(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z1, z2, 097и 098непрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = 096≠ 0 функции φ1(x) и φ2(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

C1(x) = 024φ1(x)dx + C1, C2(x) = 024φ2(x)dx + C2,

y = z1024φ1(x)dx + z2024φ2(x)dx + C1z1 + C2z2. (15.9)

Полагая здесь C1 = C2 = 0, получим частное решение

y1 = z1024φ1(x)dx + z2024φ2(x)dx

так что формулу (15.9) y = z1024φ1(x)dx + z2024φ2(x)dx + C1z1 + C2z2 можно записать в виде

Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты p1 (x), …, pn (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

Пусть z1, z2, …, zn — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

z = 074Ckzk

Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

y = 074Ck(x)zk, (15.11)

где функции Ck(x) определяются из системы уравнений

104

Решая эту систему относительно 105(k = 1, 2, …, n), находим

105= φk(x) (k = 1, 2, …, n),

Ck(x) = 024φk(x)dx + Ck (k = 1, 2, …, n).

y = 074zk024φk(x)dx + 074Ckzk. (15.12)

Источник

Adblock
detector