электростатическое поле создается неподвижными зарядами

Электрическое поле. Действие электрического поля на электрические заряды.

Электрическое поле — это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие электрически заряженных частиц.

Введение понятия электрического поля понадобилось для объяснения взаимодействия электрических зарядов, т. е. для получения ответа на вопросы: почему возникают силы, действующие на заряды, и как они передаются от одного заряда к другому?

Понятия электрического и магнитного полей ввел великий английский физик Майкл Фарадей. Согласно идее Фарадея, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот. По мере удаления от заряда поле ослабевает.

С введением понятия поля в физике утвердилась теория близкодействия, главным отличием которой от теории дальнодействия является идея о существовании определенного процесса в пространстве между взаимодействующими телами, который длится конечное время.

Идея эта получила подтверждение в работах великого английского физика Дж. К. Максвелла, который теоретически доказал, что электромагнитные взаимодействия должны распространяться в пространстве с конечной скоростью — с, равной скорости света в вакууме (300 000 км/с). Экс­периментальным доказательством этого утверждения явилось изобретение радио.

Электрическое поле возникает в пространстве, окружающем неподвижный заряд, точно так же, как вокруг движущихся зарядов — токов либо постоянных магнитов — возникает магнитное поле. Магнитные и электрические поля могут превращаться друг в друга, образуя единое элект­ромагнитное поле. Электрическое поле (как и магнитное) является лишь частным случаем обще­го электромагнитного поля. Переменные электрические и магнитные поля могут существовать и без зарядов и токов, их породивших. Электромагнитное поле переносит определенную энергию, а также импульс и массу. Таким образом, электромагнитное поле — физическая сущность, обла­дающая определенными физическими свойствами.

Итак, природа электрического поля состоит в следующем:

1. Электрическое поле материально, оно существует независимо от нашего сознания.

2. Главным свойством электрического поля является действие его на электрические заряды с некоторой силой. По этому действию устанавливается факт его существования. Действие поля на единичный заряд — напряженность поля — является одной из его основных ха­рактеристик, по которой изучается распределение поля в пространстве.

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим. Со временем оно не меняется, неразрывно связано с зарядами, его породившими, и существует в пространстве, их окружающем.

Источник

1.3. Электрическое поле. Напряженность и потенциал поля

Вокруг всякого электрического заряда всегда существует электрическое поле.

Электрическое поле, созданное неподвижным зарядом (или системой неподвижных зарядов), называется электростатическим.

Посредством электростатического поля осуществляется взаимодействие между зарядами. Само понятие поля оказалось весьма плодотворным и широко используется в современной физике. Появление поля означает, что что-то изменилось в окружающем нас пространстве. Математически поле описывается величиной, меняющейся от точки к точке. Например, можно рассмотреть поле скоростей в текущей жидкости. В каждой точке объема жидкости задан вектор скорости, который может меняться со временем (нестационарное течение), а может и быть постоянным (стационарное течение). Это пример векторного поля. К этому же типу полей относится и поле неподвижных электрических зарядов.

Напишем выражение для силы, действующей на точечный заряд 84clip image001в результате его взаимодействия с системой точечных зарядов 16clip image002(соотношение Дополнения 1)

213clip image001

Здесь 7clip image004— радиус-вектор точки, в которой находится заряд 5clip image005. Заряд 5clip image005, на который, действует сила, в подобных ситуациях иногда называют «пробным» зарядом, выписан отдельным множителем. Выражение, стоящее в круглых скобках, определяется исключительно свойствами той системы зарядов, которая воздействует на заряд 5clip image005. Естественно, что это воздействие (сила) зависит от того, где он находится, соответственно, выражение в круглых скобках зависит от радиус-вектора 7clip image004, определяющего местоположение заряда 5clip image005. Следуя изложенной выше идее об электростатическом поле существующем вокруг каждого заряда и, разумеется, системы зарядов, введем силовую характеристику этого поля, называемую напряженностью электрического поля.

Напряженностью электрического поля называется вектор 00012, равный отношению силы, действующей на точечный заряд 00013к алгебраической величине этого заряда (рис. 1.12)

00011

clip image013

Рис. 1.12. Вектор напряженности электрического поля отрицательного и положительного точечного заряда

Из и определения напряженности вытекает, что напряженность поля произвольной системы покоящихся зарядов можно записать в виде

214clip image001

Действительно, сила, с которой данная система зарядов действует на точечный заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на него каждый из зарядов системы. Отсюда следует, что напряженность электрического поля системы зарядов определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами системы. Имеет место так называемый принцип суперпозиции (независимого наложения) электрических полей

Напряженность поля, созданного системой неподвижных заряженных тел, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым телом в отдельности:

00014

Принцип суперпозиции является одним из наиболее общих принципов современной физики. Подчеркнем, что напряженности поля складываются векторно.

На рис. 1.13 иллюстрируется принцип суперпозиции полей на примере поля, создаваемого двумя точечными зарядами.

00015

Рис. 1.13. Принцип суперпозиции электрических полей

Для одного заряда 89clip image001, находящегося в начале координат 20clip image002, для напряженности создаваемого им поля в точке с радиус-вектором 11clip image003получаем (индекс 1 опущен):

8clip image004

Напряженность поля точечного заряда в различных точках пространства, в общем случае различна и по величине и по направлению (рис. 1.14). Поле точечного заряда — центральное поле, центр симметрии поля совпадает с точкой, в которой находится заряд.

0009

Рис. 1.14. Векторы напряженности электрического поля заряда q в разных точках пространства

В СИ единицей измерения напряженности электрического поля является ньютон на кулон (Н/Кл), — то есть за единицу напряженности поля принята напряженность такого поля, в котором на заряд равный 1 Кл действует сила, равная 1 Н:

00016

На практике чаще употребляют другое название этой единицы — «вольт на метр» (В/м) (про единицу «вольт» речь пойдет несколько позже).

Характерные значения напряженностей электрических полей, встречающихся в нашем мире, приведены на рис. 1.15.

000460

Рис. 1.15. Характерные значения напряженностей электрических полей, встречающихся в природе

Обратим внимание на сходство закона Кулона с законом всемирного тяготения

90clip image001

Роль зарядов играют массы, а гравитационная постоянная G аналогична коэффициенту 94clip image001Знак минус соответствует тому, что гравитационное взаимодействие всегда является притяжением. Можно ввести и вектор напряженности гравитационного поля как отношение силы 92clip image001, например, к пробной массе 21clip image002:

12clip image003

Если при этом 9clip image004— масса Земли, а 6clip image005её радиус, то 6clip image006есть ни что иное, как хорошо знакомое ускорение свободного падения 6clip image007м/с 2 (с точностью до весьма малой центробежной силы инерции, входящей в силу тяжести 4clip image008)

6clip image009

Пример 4. Среднее расстояние между электроном и протоном в атоме водорода равно r = 5,3·10 –11 м (рис. 1.16). Найти силы электростатического 3clip image010и гравитационного 4clip image011притяжения между ними и определить отношение этих сил.

00017

Рис. 1.16. Электрон и протон в атоме водорода

Решение. Из закона Кулона имеем

93clip image001

В свою очередь из закона всемирного тяготения следует

22clip image002

Отношение сил 13clip image003не зависит от расстояния между электроном и протоном и равно

10clip image004

Этот расчет показывает, что в масштабах атомов и молекул силы гравитации столь меньше электростатических, что их можно не принимать во внимание.

Почему же в макромире, где мы обитаем, с законом гравитации мы знакомимся после первой же шишки на первых же шагах в детстве, а закон Кулона остается неизвестным многим из наших сограждан даже после окончания средней школы? Дело в том, что в макромире, как мы видели, положительные и отрицательные электрические заряды в телах скомпенсированы, так что в обычной жизни мы имеем дело с относительно небольшими избыточными зарядами. В то же время все тяготеющие массы имеют один и тот же знак, так что никакой компенсации масс не происходит, и силы гравитации проявляют себя в масштабах макромира в большей степени.

Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора напряженности электрического поля 7clip image005. Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии (или линии векторного поля 7clip image005).

Линией напряженности электрического поля (силовой линией) называется такая линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля.

На рис. 1.17 показана силовая линия электрического поля. Векторы напряженности электрического поля направлены по касательной к силовой линии.

00018

Рис. 1.17. Векторы напряженности электрического поля направлены по касательной к силовым линиям

Число линий, пронизывающих перпендикулярную к ним площадку единичной площади, пропорционально величине (модулю) напряженности электрического поля в данном месте. Другими словами силовые линии проводятся гуще там, где модуль напряженности поля больше. Таким образом, конфигурация силовых линий позволяет судить об изменении направления и величины вектора 7clip image005в пространстве. Картина линий векторного поля (не обязательно электрического или магнитного) весьма наглядный графический способ отображения его основных свойств.

Отметим некоторые важные свойства силовых линий электростатического поля:

00019

Масса капельки равна

101clip image001

Отсюда находим заряд капельки

102clip image001

то есть капелька несла пять электронных зарядов. Именно в таких экспериментах было обнаружено квантование электрического заряда и определена его минимальная величина e.

Движением заряженных частиц можно управлять, с помощью электрического поля нужной величины и направления. Так происходит, например, в электроннолучевой трубке осциллографа.

На рис. 1.24 показывается движение электронного луча, рисующего на экране электроннолучевой трубки с электрическим отклонением синусоиду. В осциллографе на вертикальные отклоняющие пластины подан усиленный исследуемый сигнал, а на горизонтальные — пилообразное напряжение развёртки. В результате электронный луч «рисует» зависимость исследуемого сигнала от времени на экране осциллографа.

000447

Рис. 1.24. Принцип действия электроннолучевой трубки

Определение напряженности поля очень часто используется в виде

103clip image001

В силу определения (или, очевидным образом, это одно и то же) напряженность электрического поля называют его силовой характеристикой — оно определяет силу, действующую на заряд, помещенный в поле.

Пример 5. В пространство между пластинами плоского конденсатора влетает частица, движущаяся параллельно пластинам вдоль оси конденсатора (рис. 1.25). Начальную кинетическую энергию частица по­лучила, пройдя ускоряющую разность потенциалов 105clip image001Под действием поля конденсатора частица отклоняется к одной из пластин (в зависимости от знака заряда) и в конечном итоге попадает на нее. Это расстояние 106clip image001можно измерить. Известно также расстояние 107clip image001между пластинами и напряжение 108clip image001на конденсаторе. Можно ли по этим данным установить тип частицы (найдя ее удельный заряд, т. е. отношение заряда 109clip image001к массе 110clip image001)?

Решение. Решим задачу сначала методом размерностей. Пройденное расстояние должно быть функцией параметров задачи:

112clip image001

Вспоминая, что произведение потенциала на заряд дает энергию, размерность которой 113clip image001получаем 114clip image001

00026

Рис. 1.25. движение заряженной частицы между пластинами плоского конденсатора

Подставляя эту размерность, получаем уравнение:

116clip image001

Сравнивая размерности в обеих частях равенства, приходим к уравнениям:

117clip image001 24clip image002 14clip image00311clip image004

Последнее уравнение, следующее из отсутствия в левой части величины размерности времени, сразу дает нам 118clip image001или 119clip image001После этого немедленно находим: 120clip image001Подставляя найденные значения, получаем:

121clip image001

Произвольная степень (показатель степени b определить не удалось) означает, что результат зависит от произвольной функции безразмерного отношения 122clip image001

123clip image001

Вид этой функции мы пока не знаем: если в задачу входят величины одинаковой размерности, то функцию их отношения с помощью анализа размерности найти, естественно, не удастся. Но мы уже можем ответить на вопрос задачи: в ответ не вошли параметры, характеризующие частицу — ни ее масса, ни ее заряд. Все частицы при заданных усло­виях будут отклоняться одинаково, и использовать такой прибор для их идентификации нельзя.

Приведем теперь точное решение задачи. Начальную скорость частицы находим из соотношения

124clip image001

В конденсаторе частица находится под действием электрического поля 125clip image001и приобретает поперечное ускорение 126clip image001Расстояние 127clip image001до попадания на пластину она пройдет за время t:

129clip image001

откуда находим время полета:

130clip image001

В продольном же направлении за это время частица пролетит расстояние

131clip image001

Мы приходим к тому же выводу о независимости 132clip image001от характеристик частицы. К тому же, теперь найдена функция 133clip image001оставшаяся не опреде­ленной в нашем предварительном результате.

В Главе 4 раздела «Механика» было показано, что консервативная сила 2clip image016связана с потенциальной энергией 2clip image017соотношением

134clip image001

Здесь знак 0clip image019— общепринятое обозначение векторного оператора «набла», результат действия которого на скалярную функцию координат есть градиент этой функции. Явный вид оператора набла в декартовых координатах следующий:

135clip image001

Подставив в 0clip image021и разделив на 0clip image022, получаем

136clip image001

Скалярная функция 0clip image024называется потенциалом электрического поля.

Функция 00027, связанная с напряженностью электростати­чес­кого поля соотношением

00028,

называется потенциалом электростатического поля.

Как видно из (1.13), потенциальная энергия точечного заряда 2clip image027в поле с потенциалом 0clip image028равна

137clip image001

а действующая на него сила 0clip image030

138clip image001

В Дополнении 3 разобран пример использования этих соотношений.

В СИ единицей измерения потенциала электрического поля является вольт (В):

00029

Напряженность поля определяет силу, действующую в поле на точечный заряд, а потенциал — его потенциальную энергию в этом поле. Поэтому, следуя смыслу соотношений и, напряженность электрического поля 25clip image002называют силовой характеристикой поля, а потенциал 15clip image003— его энергетической характеристикой.

Как и потенциальная энергия, потенциал поля всегда определен с точностью до аддитивной постоянной. Это видно из : поскольку набла есть дифференциальный оператор, потенциалы 12clip image004и 8clip image005физически тождественны, так как им соответствует поле одной и той же напряженности

8clip image006.

Это позволяет нормировать потенциал, произвольно выбирая некоторую точку 7clip image007и полагая потенциал в этой точке равным нулю

140clip image001

Учитывая, что и напряженность поля, и потенциал поля убывают с ростом расстояния 7clip image009до системы зарядов, создающей поле, во всех тех случаях, когда конечный 4clip image010заряд распределен по конечной области пространства, нормировать потенциал естественно и удобно на «нуль на бесконечности», то есть полагать его равным нулю на бесконечном удалении от системы зарядов

141clip image001

О тех идеализированных случаях, когда нормировка на нуль на бесконечности, именно в силу идеализированности задачи, лишена смысла, будет сказано далее.

Соотношение (1.13) позволяет вычислить напряженность поля по известному потенциалу;

143clip image001

Получим «обратную» связь: выразим потенциал поля через его напряженность. Для этого сравним три выражения: выражение для 2clip image013из (1.18), выражение для вектора бесконечно малого перемещения 3clip image014и выражение для полного дифференциала 3clip image015функции 3clip image016:

3clip image017

Нетрудно видеть, что скалярное произведение двух первых векторов равно полному дифференциалу 1clip image018потенциала

144clip image001

145clip image001

На самом деле это соотношение не новое. Если умножить (1.20) на заряд 1clip image021и учесть связи (1.14) и (1.15), мы получим знакомое по главе 4 раздела «Механика» соотношение, связывающее работу консервативной силы и убыль потенциальной энергии

1clip image022.

Там же, в разделе «Механика» было показано, что стационарное потенциальное поле консервативно. Из соотношения (1.18) вытекает, что электростатическое поле консервативно во всех тех случаях, когда потенциал поля не зависит от времени.

Интегрируя соотношение (1.20) от точки 1clip image023, потенциал в которой принят равным нулю, до некоторой точки 1clip image024, потенциал в которой нас интересует, вдоль произвольной, удобной для вычислений кривой (поле консервативно и от формы кривой результат не зависти), получаем

1400clip image001

Вычислим с помощью (1.21) потенциал поля точечного заряда 1clip image026, находящегося в начале координат, нормировав его на нуль на бесконечном удалении от этого заряда. Воспользуемся для этого законом Кулона в форме (1.9):

1402clip image001

При вычислении использовано тождество 1clip image028, справедливое для любого вектора 1clip image029: 1clip image030и являющееся результатом простого дифференцирования определения модуля любого вектора: 1clip image031.

Таким образом, потенциал поля точечного заряда находящегося в начале координат имеет вид

149clip image001

и поле это, как уже отмечалось ранее, центральное: фактически потенциал поля зависит только от 151clip image001.

Учитывая, что стоящей в знаменателе модуль радиус-вектора 152clip image001есть ни что иное как расстояние от заряда, создающего поле до точки наблюдения поля, формулу легко обобщить на случай, когда заряд 26clip image002находится не в начале координат, а в точке с радиус-вектором 16clip image003. В этом случае расстояние от заряда до точки наблюдения поля равно 13clip image004и потенциал поля в точке 9clip image005(при прежней нормировке на нуль на бесконечности) равен

153clip image001

Связь между напряженностью поля и его потенциалом 8clip image007линейная, поэтому принцип суперпозиции для напряженности поля справедлив и для потенциала поля. Другими словами: потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов поля от каждого из зарядов системы. Используя принцип суперпозиции, потенциал поля системы зарядов можно написать сразу 6clip image008:

154clip image001

Здесь 5clip image010— полное число зарядов в системе.

В случае непрерывного распределения заряда по некоторому объему 6clip image011, получим

155clip image001

При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности 3clip image013или кривой 4clip image014, получим соответственно

156clip image001

где 4clip image016и 4clip image017— соответствующие поверхностная и линейная плотности.

В Дополнении 4 разобран пример использования только что полученных соотношений.

Мы не будем рассматривать здесь отдельно вопрос о работе электростатических сил при перемещении в электростатическом поле точечных зарядов и заряженных тел. Электростатическое поле консервативно (рис. 1.26), потенциальная энергия заряда в поле равна 2clip image018, поэтому работа электростатических сил всегда может быть вычислена с помощью соотношений вида

2clip image019

1clip image020

Рис. 1.26. Работа электростатических сил зависит только от положения начальной и конечной точек

Вычислим энергию взаимодействия зарядов, входящих с состав некоторой системы.

Для нумерации этих зарядов удобно использовать два индекса, например, 2clip image021и 2clip image022. Одни и те же заряды системы, один раз это 2clip image023, другой раз это 2clip image024. Подчеркнем, что заряд 2clip image025и заряд 2clip image026это один и тот же 5-ый заряд системы. Такие «сложности» необходимы для компактной записи выражения для их энергии взаимодействия и вот почему. Заряды взаимодействуют попарно, энергия взаимодействия 4clip image027и 2clip image028зарядов согласно равна

157clip image001

Здесь 2clip image030— потенциал 2clip image031заряда в той точке, где находится 0clip image032заряд.

В 0clip image033— взаимодействие заряда самого с собой или его потенциальную энергию в собственном поле мы не рассматриваем.

Поэтому при суммировании энергий попарного взаимодействия зарядов мы обязательно должны учесть, что 0clip image034, во-первых, и, во вторых, каждая пара зарядов должна присутствовать в сумме только один раз. Это можно сделать двумя способами. Первый состоит в том, что при записи двойной суммы, явно оговаривается, например, что 0clip image035:

158clip image001

При втором способе, при соблюдении неравенства 0clip image037, суммирование ведется по всем возможным значениям 0clip image038и clip image039, соответственно, слагаемое, отвечающее взаимодействию одной и той же пары зарядов присутствует в сумме дважды, поэтому сумму необходимо разделить на 2. Получается:

159clip image001

В случае непрерывного распределения заряда по некоторому объёму 160clip image001с плотностью 27clip image002, соотношение, к примеру, принимает вид:

162clip image001

В первой из формул в (1.31) 164clip image001— потенциал всех зарядов кроме 28clip image002в той точке 18clip image003, в которой находится 14clip image004, во втором соотношении этот потенциал выписан явно, в третьей выполнена следующая операция: два интеграла, для краткости объединены в один и заряды 14clip image004и 10clip image006выражены через плотность заряда 9clip image007.

Мы не выписываем здесь формулы для случаев распределения заряда по поверхности или вдоль некоторой кривой, они лишь требуют замены в 165clip image001на 29clip image002и 19clip image003.

Для наглядного представления распределения потенциала в пространстве используются эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность (поверхность равного потенциала) — это совокупность точек, имеющих равный потенциал.

Рассмотрим картину эквипотенциальных поверхностей некоторых полей.

Напомним, что как из физических соображений, так и непосредственно из соотношения 166clip image001вытекает взаимная ортогональность силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Действительно, согласно определению, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид

30clip image002

Дифференцируя это соотношение, получаем

20clip image003

для всех перемещений 15clip image004, касательных к эквипотенциальной поверхности. Значит вектор 11clip image005перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Осталось вспомнить, что вектор 11clip image006направлен по касательной к силовой линии по определению. Утверждение об ортогональности силовых линий и эквипотенциальных поверхностей доказано.

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой концентрические сферы с центром в точке нахождения заряда (см. рис. 1.27). Эквипотенциальные поверхности обозначены сплошными синими линиями, силовые линии — красными пунктирными линиями.

000450

Рис. 1.27. Эквипотенциальные поверхности (сферы) (сплошные линии синего цвета) и силовые линии (пунктирные линии красного цвета) поля точечного заряда

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные силовым линиям и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (см. рис. 1.28).

000451

Рис. 1.28. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля

Эквипотенциальные поверхности поля двух одноименных одинаковых точечных зарядов представлены на рис. 1.29.

000442

Рис. 1.29. Эквипотенциальные поверхности двух одноименных одинаковых точечных зарядов

Эквипотенциальные поверхности поля двух разноименных одинаковых по модулю точечных зарядов представлены на рис. 1.30.

000443

Рис. 1.30. Эквипотенциальные поверхности двух разноименных одинаковых по модулю точечных зарядов

Графический вид двумерного (в плоскости z = 0) потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным в начале координат, показан на рис. 1.31.

000452

Рис. 1.31. Вид двумерного (в плоскости z = 0) кулоновского потенциала 1/r вблизи положительного (1) и отрицательного (2) точечного зарядов. В случае (1) положительный пробный заряд натыкается на бесконечно высокий потенциальный барьер, препятствующий проникновению к центру. В случае (2) на пробный заряд действует сила притяжения, и он стремится скатиться в образовавшуюся потенциальную яму

Экспериментальное исследование потенциала поля вокруг заряженного металлического шара с помощью «пламенного» зонда показано на рис. 1.32. Используемый зонд присоединен к электрометру. Для выравнивания потенциала зонда с потенциалом той точки, где он находится, измерительный зонд помещается в пламя небольшой газовой горелки, обеспечивающей ионизацию воздуха и возможность стекания и натекания зарядов на зонд. Демонстрируется уменьшение потенциала при перемещении зонда по радиусу от центра шара и постоянство потенциала при движении зонда по окружности вокруг центра заряженного шара.

00035

Рис. 1.32. Экспериментальное исследование потенциала поля вокруг заряженного металлического шара с помощью «пламенного» зонда

В Дополнении 7 получено полезное соотношение для градиента скалярной функции, зависящей только от модуля радиус-вектора.

Источник

Adblock
detector