электрическое поле заряженной нити и плоскости

Электрическое поле заряженной нити и плоскости

tr c w

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса back go

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

071

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность 005во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность 005будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

072
Рис. 2.11 Рис. 2.12

Тогда 073

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

076

Внутри поверхности заключен заряд 077. Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости 080

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей 081.

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля 083

085 084

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. 089, то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью 091, где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

092

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров 093для боковой поверхности 094т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора 005через рассматриваемую поверхность, равен 095

При 096на поверхности будет заряд 097По теореме Остроградского-Гаусса 098, отсюда

Если 100 101, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

102

Если уменьшать радиус цилиндра R (при 103), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при 104, получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

106

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

107

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, 005– в любой точке проходит через центр шара. 108,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если 096то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при 100поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: 111

113 112

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при 100сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

115

где ρ – объемная плотность заряда, равная: 116; 117– объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара 120

Источник

Рассмотрим равномерно заряженную бесконечно длинную нить. Линейная плотность заряда равна t.

Заряд, равномерно распределённый по нити, обладает симметрией – он симметричен относительно оси.

image034Нить имеет бесконечную длину, поэтому любому эле-ментарному заряду dq1 можно сопоставить другой элементарный заряд dq2, расположенный симметрично относительно некоторой точки в электростатическом поле.

Поскольку расстояние от эле-ментарных зарядов до этой точки одинаково, модули напряжён-ностей Е1 и Е2 одинаковы. Поэтому результирующая напряжённость

Очевидно, что и в других точ-ках, расположенных на таком же расстоянии от нити, напря-жённость будет иметь такую же величину и направление.

Элементарные заряды и точка в поле были выбраны случайно, поэтому вывод справедлив как для всех остальных элементарных зарядов, так и для всех точек поля.

Это означает, что электрическое поле, созданное заряженной нитью, симметрично относительно оси нити. Другими словами – симметрия поля тождественна симметрии заряда, создающего поле.

Таким образом, векторы напряжённости во всех точках окружающего пространства перпендикулярны нити и модули напряжённости на одинаковых расстояниях от нити одинаковы.

image035

Расчёт напряжённости поля с помощью теоремы Гаусса следует начинать с получения выражения для потока вектора Е.

В свою очередь, выражение для потока следует начинать с выбора формы замкнутой поверхности и её положения относительно источника поля.

Расчёт потока будет максимально прост, если выбрать такую поверхность, симметрия которой идентична симметрии создаю-щего поле заряда.

В данном случае удобно пользоваться замкнутой поверхностью с осевой симметрией.

Такой поверхностью является цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Пусть высота цилиндра равна l, а радиус основания – r.

Поток вектора напряжённости поля, созданного нитью, складывается из потока через торцевые поверхности цилиндра и потока через боковую поверхность.

Поток через торцевые поверхности равен нулю, так как векторы напряжённости перпендикулярны нити и, соответ-ственно угол между векторами Е и n равен 90 0,

image036.

Поток через боковую поверхность

image037.

Поскольку все точки боковой поверхности расположены на одинаковых расстояниях от нити, модули напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра одинаковы, т. е.

image038.

Таков вид выражения для потока вектора рассчитываемой напряжённости.

Следующий этап вычисления напряжённости электро-статического поля – расчёт суммарного заряда, охваченного замкнутой поверхностью.

Заряд, охваченный поверхностью s, можно найти так:

image039.

Тогда, по теореме Гаусса,

image040

image041.

image042.

Таким образом, напряжённость электрического поля, создан-ного равномерно заряженной нитью, прямо пропорциональна линейной плотности заряда нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити до интересующей нас точки.

Обратите внимание – напряжённость обратно пропорцио-нальна первой степени расстояния от нити (напряжённость поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда).

1.7.2. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость. Поверхностная плотность заряда равна s.

Из симметрии системы следует, что поле должно быть симметричным относительно плоскости (это можно доказать примерно так же, как в предыдущем примере). Следовательно, вектор Е везде перпендикулярен плоскости и в одинаково удалённых от плоскости точках модули вектора Е одинаковы.

В этом случае в качестве поверхности интегрирования целесообразно выбрать цилиндр, ориентированный так, как показано на рисунке.

image043

Поток вектора Е и здесь складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через торцы цилиндра: Ф = Фбок + 2Фторц.

Поток вектора напряжённости через боковую поверхность равен нулю, так как в силу симметрии поля вектор напряжённости дол-жен быть параллелен боковой поверхности и

image044.

Поток вектора напряжённости через торцевые поверхности image045, где r – радиус основания цилиндра.

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

Напряженность поля заряженной нити

Модуль напряженности поля, создаваемого бесконечно длинной прямой однородно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси

image791,

Если заряженная нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити, на расстоянии r от нее

image793,

Поверхностная плотность заряда

Заряд, распределенный на поверхности S, характеризуется поверхностной плотностью s

image795,

где Q – заряд, однородно распределенный на площадке S.

Напряженность заряженной плоскости

Напряженность поля, создаваемая бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

image797.

Напряженность поля плоского конденсатора

Напряженность поля, создаваемая внутри заряженного плоского конденсатора для случая, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора

image799.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Постоянная image801м/Ф.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие фундаментальные свойства присущи электрическому заряду? Сформулируйте закон сохранения заряда.

2. В каких единицах измеряется электрический заряд? Чему равен элементарный заряд?

3. Какому закону подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов? Какие утверждения содержит закон Кулона?

4. Получите численное значение и единицу электрической постоянной e0.

5. Как рассчитывается сила взаимодействия точечного заряда и зарядов, распределенных на телах конечных размеров?

6. Можно ли воспользоваться законом Кулона при расчете силы взаимодействия двух заряженных тел сферической формы?

7. Что является источником электрического поля? Как обнаруживается и исследуется электрическое поле?

8. Дайте определение напряженности электрического поля. В каких единицах измеряется напряженность?

9. Напишите формулу для напряженности E точечного заряда q. Изобразите график зависимости E(r), где r – расстояние от точечного заряда до точки поля, в которой определяется напряженность.

10. Каково содержание принципа суперпозиции электрических полей?

11. Как рассчитать напряженность поля заданного распределения точечных электрических зарядов?

12. Как вычисляется поток вектора напряженности электрического поля через любую поверхность?

13. Сформулируйте и запишите теорему Гаусса в интегральной форме.

14. Получите выражение для напряженности Е однородно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.

15. Получите выражение для напряженности E однородно заряженной сферы, цилиндра.

16. Напишите теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(9.13) Два точечных заряда q1=7,5 нКл и q2=–14,7 нКл расположены на расстоянии r=5 см друг от друга. Найти напряженность E электрического поля в точке, находящейся на расстоянии a=3 см от положительного заряда и b=4 см от отрицательного заряда.

Ответ: E=112 кВ/м.

2.(9.15) Два металлических шарика одинакового радиуса и массы подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной T=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса равно l=10 см, масса каждого шарика m=5 г.

Ответ: Q=1,1 мкКл.

Ответ: а) F1=20мкН; б) F2=126мкН; в) F3=62,8 мкН.

7.(9.29) Показать, что электрическое поле, образованное однородно заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной заряженной нити; б) точечного заряда.

8.(9.30) Длина однородно заряженной нити l=25 см. При каком предельном расстоянии a от нити по нормали к ее середине возбуждаемое ею электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно длинной заряженной нити? Ошибка d при таком допущении не должна превышать 0,05. Указание: допускаемая ошибка d равна (E2–E1)/E2, где E2 – напряженность электрического поля бесконечно длинной нити, E1 – напряженность поля нити конечной длины.

Ответ: a=4,18 см.

9.(9.33) Напряженность электрического поля на оси однородно заряженного кольца имеет максимальное значение на некотором расстоянии от центра кольца. Во сколько раз напряженность электрического поля в точке, расположенной на половине этого расстояния, будет меньше максимального значения напряженности?

Ответ: в 1,3 раза.

10. По четверти кольца радиусом r=6,1 см однородно распределен положительный заряд с линейной плотностью t=64 нКл/м. Найти силу F, действующую на заряд q=12 нКл, расположенный в центре кольца.

Ответ: F=160 мкН.

11. Получите соотношения п.12 раздела “Основные формулы для решения задач”.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

Ответ: r=1350 кг/м 3 .

2.(3.6) В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды по q=300 пКл каждый. Какой отрицательный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов была уравновешена силой притяжения к отрицательному заряду?

Ответ: Q=–0,287 нКл.

3.(3.7) В вершинах правильного шестиугольника со стороной b=10 см находятся одинаковые заряды по q=1 нКл каждый. Чему равна сила F, действующая на каждый заряд со стороны пяти остальных?

4.(3.8) Два положительных точечных заряда q1=1 нКл и q2=2 нКл находятся на расстоянии r=5 см друг от друга. Какой величины и в каком месте нужно расположить отрицательный заряд Q, чтобы вся система находилась в равновесии?

Какое будет равновесие?

Ответ: Q=–0,34 нКл нужно расположить на расстоянии 2,07 см от заряда q1 на линии, соединяющей заряды. Равновесие неустойчивое.

5.(3.13) Электрическое поле создается двумя длинными параллельными равномерно и одинаково заряженными нитями, расположенными на расстоянии l=5 см друг от друга. Напряженность электрического поля в точке, равноотстоящей от каждой нити на расстояние b=5 см, равна E=1 мВ/м. Определить линейную плотность заряда t на каждой нити.

Ответ: U=3,2 В.

7.(3.17) Электрическое поле создается тонким проволочным однородно заряженным кольцом. Определить радиус R кольца, если точка, в которой напряженность электрического поля максимальна, расположена на оси кольца на расстоянии x=1 см от его центра.

Ответ: R=1,41 см.

Ответ: q=5 нКл.

9.(3.24) На отрезке тонкого прямого стержня длиной l=10 см однородно распределен заряд с линейной плотностью t=3 мкКл/см. Вычислить напряженность E, создаваемую этим зарядом, в точке, расположенной на оси стержня и удаленной от ближайшего его конца на расстояние a=10 см.

Ответ: E=13,5 МВ/м.

Ответ: 20.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Получите соотношения п.14 раздела “Основные формулы для решения задач”.

2. Рассчитайте поле однородно заряженного по объему шара на расстоянии r от его центра, если радиус шара R, а объемная плотность заряда r.

Ответ: r R, image807.

image809

Ответ: E=s/(4e0)=1,9 кВ/м.

6. Прямая бесконечная тонкая нить несет заряд с линейной плотностью t1. Перпендикулярно нити расположен тонкий стержень длиной l (см. рис. 3.2). Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии а от нее. Определить силу F, действующую на стержень со стороны нити, если он заряжен с линейной плотностью t2.

Ответ: image825.

image827

7. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, однородно распределен заряд с линейной плотностью t=10 нКл/м. Определить напряженность электрического поля Е, создаваемую распределенным зарядом, в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити l=15 см составляет одну треть длины окружности.

Ответ: image829=2,17 кВ/м.

8. Длинный цилиндр радиусом R однородно заряжен с объемной плотностью заряда r. Найти зависимость напряженности электростатического поля, создаваемой этим цилиндром от расстояния r до его оси.

Ответ: 0 R, image835.

9. Напряженность электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра однородно заряженного диска, на расстоянии x от него, имеет вид: image837, где s – поверхностная плотность заряда диска, R – его радиус. Получите это соотношение. Как изменится ответ задачи, если однородно заряженный диск радиусом R2 имеет концентрическое отверстие радиусом R1 (R2>R1)?

Ответ: image839.

Ответ: image841=1,5 м.

11. Напряженность электрического поля зависит только от координат по закону image843где а – постоянная, image129, image149, image120– орты осей х, у и z. Найти величину заряда q, находящегося внутри сферы радиусом R с центром в начале координат.

Ответ: q=4pe0aR.

12. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме, найти напряженность E электрического поля внутри и вне бесконечной пластинки толщиной 2a, однородно заряженной с объемной плотностью заряда r.

Ответ: image848если –a£x£a;

image850если image852

Источник

Adblock
detector