электрическое поле на границе двух сред

Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред

А) Граничные условия для вектора электрической индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями image340 2и image341 2. Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.

image342 2

Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. image343 1и image344 1— нормали к поверхности S.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции image004 6через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:

image345 1(3.1.1)

Устремим высоту цилиндра к нулю image346 1. Тогда (3.1.1) преобразуется так:

image347 1(3.1.2)

Где image348 1, image349 1– компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.

Введем поверхностную плотность заряда:

image350 1(3.1.3)

Размерность поверхностной плотности заряда image351 1= Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).

Тогда (3.1.2) можно переписать в виде

image352 1(3.1.4)

Если плотность поверхностного заряда равна нулю (image353 1), то

image354 2. (3.1.5)

Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:

На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.

Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать

image355 1(3.1.6)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.

В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля image001 3.

Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями image340 2и image341 2. Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:

image356 1

image358 1

Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.

Устремим ширину контура image357 1к нулю, тогда поток вектора image359 1через поверхность S обратится в ноль, и мы получим

image360 1(3.1.7)

image361 1

Откуда следует, что

image362 0(3.1.8)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.

Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.

Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока

image363 2(3.1.9)

Где image364 2— плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.

Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении image365 2следует ввести поверхностную плотность тока:

image366 2(3.1.10)

Размерность поверхностной плотности тока [image367 2] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:

image368 2

Откуда следует, что

image369 1(3.1.11)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.

При отсутствии поверхностного тока

image370 0(3.1.12)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.

Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.

Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле image371 2. Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника

image372 2, image373 2,

image374 2, image375 2.

Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.

image376 2

Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.

Источник

Электрическое поле на границе двух сред

В рамках курса «Электричество и магнетизм» диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.

В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.

Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.

Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.

Источник

Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков

Изучим поведение векторов напряженности Е и электрического смещения D электростатического поля на границе раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред 1 (?),/),) и 2 (E2,D2). Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть е, и с2 — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использовать теорему о циркуляции вектора Е (12.16) и теорему Гаусса для вектора (13.14).

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела и по нормали (п) к ней, направленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны А/, а две другие равны АИ (рис. 13.3, а). При любом значении АИ должна выполняться теорема о циркуляции вектора Е (12.16):

682

Перейдем к пределу при Ah —> 0:

683I

В этом случае значения интеграла j E dI вдоль боковых сторон (АИ) прямоугольного контура L тоже стремятся к нулю. Верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. При обходе контура L по часовой стрелке с учетом выражения (13.16) получаем, что

684

Рис. 13.3. К получению условий на границе двух диэлектриков: а — для тангенциальных компонент векторов Ё и D, б — для нормальных компонент векторов

685

где проекции вектора Ё взяты на направление обхода контура, показанное стрелками на рис. 13.3, а. Учтем, что в проекции на вектор т выполняется EW=

EU. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля

686I

т.е. тангенциальная составляющая вектора Ё напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Согласно формулам (13.12а) и (13.17), имеем 687и получаем первое граничное условие для электрического смещения:

688

т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе раздела диэлектриков разрыв.

Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью AS. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред 1 и 2. Пусть образующие цилиндра длиной Аh параллельны вектору п нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны п (рис. 13.3, б).

В теореме Гаусса (13.14) для вектора D

689

где q — суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при А/г —> 0 : 690

В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела lim q = oAS, где о — поверхностная плотность сто-

роннего заряда на границе раздела. Тогда должно выполняться равенство

691

Получаем граничное условие для вектора D в виде

692

Если на поверхности раздела сред нет поверхностных сторонних зарядов, то Пт

695

Рис. 13.4. Преломление линий напряженности на границе двух диэлектриков (е2 > е,)

Преломление линий векторов Е и D. Полученные выше условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, что линии данных векторов на этой границе преломляются (рис. 13.4). Найдем соотношение между углами а, и а2, образуемыми линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то по формулам (13.17) и (13.21) получаем

696

Из рис. 13.4 следует, что углы а< и а2 удовлетворяют условиям

697

Тогда закон преломления линий напряженности электростатического поля

на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности сторонних зарядов в соответствии с уравнением (13.21) запишется так: 698

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если на рис. 13.3, б, среда I — проводник, а среда 2 — диэлектрик, то Dln — Dn, a Dln 0, так как внутри проводника Е — 0. Из формулы (13.19) следует, что

699

где И — внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника. Можно доказать, что если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик (объемная плотность связанных зарядов р’ = 0), то на границе диэлектрика с проводником будут связанные заряды с поверхностной плотностью о’:

700

где о — поверхностная плотность стороннего заряда на проводнике. При этом знаки связанного и стороннего зарядов будут противоположны.

Сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном диапазоне температур спонтанной поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Они используются в конденсаторах большой емкости при малых размерах. Примеры: сегнетова соль NaKC4H40620, титанат бария ВаТЮ3.

701

Рис. 13.5. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлект-

Для сегнетоэлектриков связь между вектором напряженности внешнего электрического поля Е и вектором поляризации Р нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса — сохранения остаточной поляризованности Р0СТ при снятии внешнего поля (рис. 13.5). Поляризация образца исчезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления, напряженность которого Е =

ЕС. Величина Ес называется коэрцитивной силой.

Пьезоэлектрики — это кристаллические диэлектрики, в которых при сжатии или растяжении возникает электрическая поляризация — прямой пьезоэффект. Обратный пьезоэффект — появление механической деформации под действием электрического поля.

Источник

image054.

image055По аналогии с (2.2) получим:

image056, где image057— плотность поверхностного тока. Эта величина как image020в случае электрического поля, имеет чисто формальный смысл. Поэтому реально:

image058. (2.13)

image059Касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе раздела сред претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности тока проводимости, протекающего по границе раздела сред.

Используя материальное уравнение image032, определим граничные условия для касательных составляющих вектора магнитной индукции:

image060, (2.14)

image061.

image062Касательная составляющая вектора магнитной индукции на границе

раздела двух сред терпит скачок, равный отношению магнитных про-

image006

2.3. Граничные условия на поверхности идеального

диэлектрика и идеального проводника

Рассматриваются частные случаи применения граничных условий часто используемые для решения практических задач.

image007

Выпишем полученные в разделах 2.1 и 2.2 граничные условия для нормальных и касательных составляющих электромагнитного поля.

image063. (2.15)

Данные уравнения составляют полную систему граничных условий, которые справедливы для любых электромагнитных процессов, рассматриваемых в классической (макроскопической) электродинамике.

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи некоторых диэлектрических и металлических тел часто предполагают, что рассматриваемые тела являются идеальным диэлектриком или идеальным проводником. В этом случае граничные условия (2.9) упрощаются.

Рассмотрим граничные условия на поверхности идеального диэлектрика. Поскольку для идеального диэлектрика удельная проводимость s = 0, то плотность тока проводимости image064и, следовательно, поверхностный ток отсутствует, image065. Поэтому для данного частного случая получаем:

image066. (2.16)

Рассмотрим теперь граничные условия на поверхности идеального проводника. Для идеального проводника s = ¥, следовательно, и вектор плотности тока проводимости image067тоже стремится к бесконечности при некотором конечном image026. Это означает, что появление такого большого тока должно быть связано с бесконечно большой энергией поля, чего при источниках, имеющих конечную мощность, быть не может. Поэтому, исходя из закона сохранения энергии, следует предположить, что внутри идеального проводника переменное электрическое поле существовать не может, т.е. image068. Исходя из первого уравнения Максвелла при image068получаем, что и вектор image004тоже равен нулю, а из материальных уравнений находим, что image069.

Следовательно, внутри идеального проводника переменное электромагнитное поле отсутствует (более подробно это явление мы рассмотрим позднее в разделе 6.)

Таким образом, граничные условия на поверхности идеального проводника имеют вид:

image070.

Поскольку в дальнейших разделах мы часто будем обращаться к этим граничным условиям, остановимся на уравнениях (2.11) более подробно. Непосредственно из этих уравнений вытекает:

1. Вектор напряженности электрического поля вблизи поверхности проводника направлен перпендикулярно к поверхности и равен image071(см. рис.2.4.).

2. Вектор напряженности магнитного поля вблизи поверхности проводника направлен по касательной к поверхности проводника и равен jS (см. рис.2.4.).

3. Равенство нулю касательной составляющей электрического поля является следствием отсутствия поля внутри проводника.

image072Последнее требует пояснения. Отсутствие поля внутри проводника означает отсутствие внутри проводника объемных зарядов. Это в свою очередь означает, что заряд проводника концентрируется на его поверхности в слое атомарной толщины. Конечно, внутри проводника имеются как положительные, так и отрицательные заряды, но они взаимно компенсируются и в целом внутренние области проводника нейтральны. Установ-ление этой нейтральности происходит чрез-вычайно быстро. Рассмотрим в этой связи некоторый объем проводника (например, медного) и предположим, что в момент времени t = 0 плотность свободных зарядов в нем отлично от нуля. Используем закон сохранения заряда (см. подробнее раздел 1.7.):

image073, или image074. (2.18)

Так как image075, то image076или, используя материальное уравнение, image077, а image078. Подставляя в (2.12) получим:

Решение данного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:

image088, image089.

Так как, согласно (2.10) image090, то image091. При image092= 0 получаем:

image093, откуда image094.

Тогда image095.

Вопросы для самопроверки

1. Объяснить механизм образования скачка нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля на границе двух сред.

2. Почему в проводниках электромагнитное поле практически отсутствует?

3. Почему линии напряженности электрического поля направлены нормально к границе раздела диэлектрик – проводник?

image096

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

Adblock
detector