электрическое поле двухпроводной линии

Поле двухпроводной линии

Расстояние между осями двух проводов линии (рис. 11.15) обозначим через d, радиус каждого провода через r. Если левому проводу будет сообщен, например, заряд t на единицу длины, а правому заряд -t, то в пространстве между проводами возникнет электрическое поле. Заряды проводов распределятся по поверхности с неодинаковой плотностью.

Поверхность каждого провода в отдельности будет являться эквипотенциалью. Внутри проводов E=0. Задача о поле двухпроводной линии сводится к только что рассмотренной задаче о поле двух заряженных осей. Расположим две заряженных оси так, чтобы поверхности проводов являлись эквипотенциальными.

Точки O₁ и O₂ означают геометрические оси проводов. Заряженные оси пусть будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они на одинаковое расстояние х удалены от геометрических осей.

Рис. 11.15. Поле двухпроводной линии.

Запишем условие равенства потенциалов точек 1 и 2 левого провода. Отношение b/a для точки 1 есть не что иное, как

;

отношение b/a для точки 2 равно

.

=

. (11.42)

В последнем выражении знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс—точке m.

Вместо подсчетов по формуле (11.42) положение заряженных осей (часто их называют электрическими осями проводов) находят путем следующих графических построений.

Проводят общую касательную к проводам (прямая pq), делят расстояние между точками касания пополам (точка s) и проводят окружность радиуса ps. Точки пересечения (m и n) окружности с линией О₁О₂ дают положения электрических осей, т. е. таких осей, на которых надо было бы мысленно сосредоточить заряды проводов, чтобы поверхности проводов являлись эквипотенциалями. Так как поле от двух заряженных осей вне проводов удовлетворяет уравнению Лапласа и в то же время удовлетворяются граничные условия (поверхность каждого провода является эквипотенциалью, на ней E_t=0), то на основании теоремы единственности полученное реше­ние является истинным. Нетрудно убедиться в том, что если d >> r, то х становится много меньше r. При этом электрические и геометрические оси практиче­ски совпадают.

Емкость

Если два каких-либо проводника разделены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды Q, то в пространстве между ними создается электрическое поле. Пусть разность потенциалов между телами равна U.

Под емкостью С между двумя телами, на которых имеются равные и противоположные по знаку заряды, принято понимать абсолютную величину отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами U

.(11.43)

Из определения емкости следует единица ее размерности кулон/вольт=фарада. Это очень крупная единица, и потому на практике поль­зуются более мелкими кратными ей единицами: микрофарадой (мкФ) и пикофарадой (пФ):

Устройства, предназначенные для получения определенной величины емкости, называют конденсаторами. Однако не следует думать, что емкостью обладают только специально для ее получения созданные устройства. Емкостью обладают всякие два проводящих тела, разделенных диэлектриком.

Так как напряжение между двумя телами в электростатическом поле может быть линейно выражено через заряд Q (исключение составляют только устройства, в которых используются сегнетодиэлектрики — вещества, у которых e является функцией Е), то отношение Q/U оказывается независящим ни от величины Q, ни от величины U.

Емкость зависит только от конфигурации тел, их размеров, от расстояния между телами, от электрических свойств диэлектрика (величины e). В качестве примера рассмотрим определение емкости двухпроводной линии.

Источник

Поле двухпроводной линии

Поле двухпроводной линии

2-х проводная линия поля. Расстояние между осями двух проводов в линии (рис. 411) представлено d, а радиус каждого провода представлен g.

Проволочные заряды распределены по поверхности с неоднородной плотностью. Людмила Фирмаль

Поверхность каждого провода индивидуально эквипотенциальна. E = 0 внутри провода. В двухпроводной задаче нулевой точки учитывается электрическое поле двух осей заряда.

Две оси зарядки расположены таким образом, что поверхность провода является эквипотенциальной. Точки O1 и O2 указывают геометрическую ось проволоки. Разместите ось заряда в точках m и n.

*. уравнение rf- x drx to d 4- rx rx r 4-X (13.40) В последнем уравнении знак минус перед радикалом соответствует

положению точки n и знака плюс в точке m оно соответствует. Людмила Фирмаль

Вместо расчета по уравнению 411 (13.40) положение заряженной оси (иногда называемой электрической осью провода) определяется следующей графической структурой: Рисует общую касательную к проводу (прямая линия pq), делит расстояние между точками касания пополам (точка s) и рисует круг с радиусом ps.

Пересечение окружности и линии Oft2 (m и n) указывает положение электрической оси, то есть оси, где заряд провода должен быть мысленно сконцентрирован так, чтобы поверхность провода была эквипотенциальной.

Электрическое поле от двух осей заряда вне провода удовлетворяет уравнению Лапласа, и в то же время выполняется граничное условие (поверхность каждого провода эквипотенциальна, Et = 0), поэтому решение, полученное из теоремы единственности, истинно это.

Если d> r, легко увидеть, что x намного меньше r. Кроме того, электрические и геометрические оси практически совпадают.

Если вам потребуется заказать решение по электротехнике (ТОЭ) вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Распределения времени 3 содержание дисциплины 3 Лекция Длинные линии. 3 Лекция Основы теории электромагнитного поля. 4

Главная > Реферат

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Поле и емкость двухпроводной линии

Пусть известны радиусы R цилиндров (проводов), расстояние между геометрическими осями и приложенное к проводам напряжение

Рис.6.10. Двухпроводная линия

Положение электрических осей определяются из уравнений

Потенциал положительно заряженного провода

.

Потенциал отрицательно заряженного провода

напряжение, ёмкость на единицу длины и заряд на единицу длины

(6.60)

(6.61)

Метод зеркальных отражений

Для расчета электростатических полей, иногда бывает удобно применить метод зеркальных отражений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё дополнительные заряды, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям. Дополнительные заряды помещают там, где находятся зеркальные отражения заданных зарядов. Этот метод особенно удобен если в задаче имеется плоская проводящая граница.

Если заряд Q (или τ ) расположен у границы двух диэлектриков (рис.6.11.a), то на поверхности раздела наводятся связанные электрические заряды, которые подчиняются граничному условию (6.30).

Исключить действие этих зарядов с заменой их эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд (рис. 6.11б), определяется зарядом Q и зарядом

б) Поле по другую сторону границы, т.е. в нижней полуплоскости (среда с ε 2 ), определяется зарядом

При этом первая среда замещается второй и становится однородной с диэлектрической проницаемостью ε 2 (рис. 6.12в). Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Рис. 6.11. а) заряд вблизи границы двух диэлектрических сред;

б) расположение эквивалентных зарядов для расчета поля в 1-й среде;

в) то же для 2-й среды

Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли

Рис.6.12. Применение метода зеркальных отражений

(6.64)

(6.65)

(6.66)

(6.67)

(6.68)

а взаимные потенциальные коэффициенты

. (6.69)

Они всегда положительны и имеют размерность 1/Ф. С помощью формул (6.67) и (6.68) может быть решена поставленная задача. Если, наоборот, заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из уравнений (6.67) и (6.68):

(6.70)

(6.71)

Множители при потенциалах Q 1 и Q 2 называются емкостными коэффициентами. В данном случае собственные емкостные коэффициенты

(6.72)

Взаимные емкостные коэффициенты

(6.73)

всегда отрицательны, так как наведенный заряд противоположен по знаку заряду проводника, возбуждающего поле.

Более удобными для практики оказались уравнения с так называемыми частичными емкостями. Эти уравнения связывают заряды проводников с напряжениями между ними в соответствии со схемой, изображенной на рис. 6.13:

(6.74)

(6.75)

Рис.6.13. Схема замещения с частичными емкостями

Сравнивая последние уравнения с (6.70) и (6.71), легко найти связь между частичными емкостями и емкостными коэффициентами:

.

Если провода находятся под напряжением U от источника напряжения, то провода заряжаются так, что

В этом случае можно говорить о рабочей емкости линии

,

которую можно выразить через потенциальные коэффициенты

(6.76)

(6.77)

Рабочая емкость равна эквивалентной емкости между проводами (рис.6.13).

Потенциальные коэффициенты двухжильного и тре хжильного кабелей

Рис.6.14. Сечение двухжильного кабеля с зеркальным изображением проводов

Взаимно обратные точки связаны соотношением

Тогда для двухжильного кабеля, рис. 6.14

Рис.6.15. Сечение трехжильного кабеля с зеркальным изображением проводов

Для трехжильного кабеля

6.2.2.2. Расчет электростатического поля в неоднородных диэлектриках.

, (6.78)

Требуется найти емкость конденсатора, энергию поля, заключенного в нем, энергию поляризации диэлектрика.

Рис. 6.16. Конденсатор частично заполненный диэлектриком.

Индукция электрического поля не зависит от наличия или отсутствия диэлектрика. В соответствии с (6.33) величина индукции у поверхности проводника равна D= D n =σ. Следовательно, проекция индукции (см. рис.) равна:

Из того, что мы используем формулы для бесконечных плоскостей для реального конденсатора, следует, что полученные решения будут приближенными и ошибка будет тем меньше, чем больше линейные размеры пластин по сравнению с расстоянием между ними.

Напряженность электрического поля в области 0 ≤ x ≤ a (начало координат совмещено с верхней пластиной), где диэлектрик отсутствует, будет также постоянна и равна:

В области a x ≤4 a из-за неоднородности диэлектрика напряженность поля будет изменяться по закону:

Теперь можно вычислить разность потенциалов между пластинами, используя формулу, связывающую потенциал с напряженностью поля , которая для нашей одномерной задачи имеет вид

,

Найдем разность потенциалов:

Следует обратить внимание на то, что в случае заполнения пространства между пластинами однородным диэлектриком разность потенциалов между пластинами изменяется по мере роста координаты x в соответствии с равенством

,

(6.77)

где d –расстояние между пластинами конденсатора.

Из нее хорошо видно, что в знаменателе на первом месте стоит потенциал той пластины, заряд которой стоит в числителе. Таким образом, емкость частично заполненного конденсатора равна:

Энергию поля найдем, проинтегрировав плотность энергии по объему конденсатора:

Подставив полученные выше выражения для полей, получим:

Энергия поляризации вычисляется по формуле:

После подстановки (6.78) получим

6.2.2.3 Пример решения задачи

Двухпроводная линия находится в однородном поле грозовой тучи с напряженностью, направленной вертикально (Рис. 6.15). Напряжение между проводами U =-10 кВ. Напряженность электрического поля, вызванного тучей E 0 =2кВ/м. Нижний провод расположен на высоте h =0,5м от поверхности земли, расстояние между проводами d =0,3 м; радиус проводов r 0 =10мм. Верхний провод заземлен.

1. Рассчитать и построить распределение потенциала вдоль оси y при х =0;

2. Рассчитать и построить распределение плотности заряда σ на поверхности земли;

3. Определить частичные емкости проводов.

Рис. 6.17. Двухпроводная линия передачи с заземленным верхним проводом

Поле системы заряженных проводов и тучи, определим методом наложения, используя понятие потенциальных коэффициентов проводов. Заряженная туча играет роль верхней пластины конденсатора, “земля” – нижней пластины.

По условию задачи напряженность поля тучи направлена сверху и вниз. Это означает, что туча заряжена положительно, а напряженность поля в любой точке пространства, при отсутствии проводов, является постоянной величиной. Естественно, что заряженные провода вносят в такое поле определенное искажение.

где φ з =0, т.к. при y =0 потенциал земли принимается равным нулю: φ з =0.

Поле заряженных проводов суммируется с полем тучи. Используя метод наложения, получим связь потенциалов и зарядов электродов, по формулам Максвелла для потенциальных коэффициентов:

, (6.79)

,

Рис. 6.16. Расчетная модель задачи двухпроводной линии с заземленным верхним проводом по методу зеркальных отражений

Поверхностная плотность заряда на поверхности “земли” определяется нормальной составляющей напряженности суммарного поля:

Емкостные коэффициенты β можно выразить через потенциальные коэффициенты α:

Частичные ёмкости связаны с ёмкостными коэффициентами

выражениями: C 11 = β 11 + β 12 ; C 22 = β 21 + β 22 ; C 12 = C 21 =− β 12 =− β 21 Получим

6.3. Задания на выполнение домашней работы

Расчетно-графическая работа состоит из двух задач:

1. Расчет длинной линии;

2. Расчет электростатического поля возбуждаемого электродами различной формы.

Задача 1. Расчет длинной линии

Определить вторичные параметры линии, затухание и фазовый сдвиг;

Найти входное сопротивление линии в режиме нагрузки, при холостом ходе и коротком замыкании;

Рассчитать напряжение на входе линии, токи в начале и конце линии, потерю напряжения в линии;

Найти активную мощность в начале линии и КПД передачи;

построить векторные диаграммы тока и напряжения в начале и конце линии;

для режима согласованной нагрузки определить напряжение в начале линии, а также ток в начале и в конце линии. Построить векторные диаграммы тока и напряжения в начале и конце линии;

Определить величину натуральной мощности и найти КПД её передачи.

Данные для расчета выбираются из таблицы 6.1. Вариант задания определяется по двум последним цифрам шифра студента mn.

Исходные данные для решения задачи 1 Таблица 6.1

Источник

Электрическая ёмкость и ее расчет

Содержание:

Электротехника и ее теоретические основы:

Одной из основных задач техники является преобразование при родных энергетических запасов в используемые виды энергии — в механическую, тепловую, световую и т. п., что требует транспортировки энергетического сырья к месту его использования.

Электрическая энергия легко передается на большие: расстояния и с высоким коэффициентом полезного действия преобразуется в другие виды энергии. Общепринятым является преобразование природных энергетических запасов в электрическую энергию с помощью так называемых генераторов и ее передача посредством проводов к месту потребления, где в преобразователях и приемниках она преобразуется в нужный вид энергии. Беспроводная передача энергии осуществляется с помощью радиосвязи.

Преимущества генерирования, передачи, распределения и преобразования электрической энергии обеспечили широкое применение электротехники.
Новые производственные отношения в нашей стране, отсутствие частной собственности на запасы энергетического сырья, средства и орудия производства, государственное планирование являются мощным фактором развития электротехники и всеобъемлющего охвата ею всех отраслей нашего народного хозяйства, быта и культуры.

Составленный под руководством В. И. Ленина план ГОЭЛРО построения 30 электростанций общей мощностью 1,75 млн. кет был выполнен в решающих позициях за 10 лет.

В послевоенные годы электрификация СССР развивается невиданными темпами: в 1960 г. мощность электростанций составила 66,7 млн. кет, а за пятилетку 1966— 1970 гг. введены 54 млн. кет, в том числе самая мощная в мире Красноярская гидроэлектростанция (6 млн. кет) и Белоярская атомная электростанция (600 тыс. кет). В Директивах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971— 1975 гг. предусмотрено ввести в действие электростанции мощностью 65—67 млн. кет, в том числе 6—8 млн. кет на атомных электростанциях. Соответственно увеличилась и увеличится мощность потребителей — устройств, преобразующих электрическую энергию в другие виды.

Электрическая энергия — это энергия электромагнитного поля, являющегося видом материи. Поле имеет две составляющие — электрическое и магнитное поля, что можно показать на примере линии передачи постоянного тока (рис. В. 1).

При передаче энергии провода линии, изолированные друг от друга, находятся под напряжением U. Следовательно, между проводами возникает электрическое поле, изображенное пунктиром на рис. В.1 в виде силовых линий, В проводах протекает ток 7, следовательно, в проводах и вне их создается магнитное поле, показанное сплошными линиями. На рис. В.1 видно характерное различие между электрическим и магнитным полями: силовые линии электрического поля незамкнуты, они начинаются и оканчиваются на заряженных проводах; магнитные силовые линии всегда замкнуты; они не имеют ни начала, ни конца.

Как известно из курса физики, электрическое поле в каждой точке
характеризуется вектором напряженности Е, равным силе, воздействующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку, и вектором электрического смещения

Электрическое поле в проводящей среде создает ток, характеризуемый в
каждой точке поля вектором плотности тока где — удельная
проводимость среды. Ток сопровождается появлением магнитного поля и переходом части энергии электромагнитного поля в тепло, причем мощность этого процесса в единице объема

Магнитное поле в каждой точке характеризуется вектором магнитной индукции В, величина которого равна силе, действующей на движущийся единичный положительный заряд, скорость которого равна единице, а направление В — перпендикулярно этой силе и скорости, а также вектором напряженности

где , — магнитная проницаемость среды.

Передача, генерирование, преобразование и потребление электрической энергии, равной (где t — время), возможны лишь при наличии электрического и магнитного полей, т. е. при существовании электромагнитного поля. Примером могут служить рассмотренные поля линии электропередачи. При беспроводной передаче движение энергии также связано с существованием электромагнитного поля в пространстве между передающей и приемной антеннами.

В науке об электричестве связь электрических и магнитных явлений была установлена в двадцатых годах прошлого века, когда Ампер и Эрстед доказали, что электрический ток сопровождается возникновением магнитного поля; окончательно связь электрического и магнитного полей была подтверждена Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции (1831 г.).

Электротехника, зародившаяся в тридцатых годах прошлого века, вначале развивалась как техника постоянного тока. Только после создания М. О. Доливо-Добровольским системы трехфазного тока и трехфазного двигателя (1891 г.) переменный ток стал вытеснять постоянный. Передача электрической энергии стала осуществляться также трехфазным током.
Теория электромагнитного поля в законченной математической форме была создана Максвеллом в 1873 г. Подтвержденная многочисленными опытами ряда ученых, она была окончательно принята в начале нашего века.

Введенное Максвеллом представление об электромагнитных волнах, экспериментально подтвержденное работами Герца, позволило А. С. Попову в 1895 г. осуществить передачу сигнала без проводов, что послужило началом новой области электротехники — радиотехники.

Электротехника и ее теоретические основы непрерывно развиваются. Например, совершенствуются электронные, ионные и полупроводниковые приборы и аппараты, с помощью которых осуществляют прямые и обратные преобразования переменного тока в постоянный, усиление напряжения и мощности и создают электронные вычислительные машины. Увеличивается дальность и возможности проводной связи, радиотехники и телевидения, развивается электроавтоматика, в энергетике осуществляется переход к большим напряжениям (1500 кв) и мощностям генераторов (1 200 ООО кет и выше), разрабатываются и испытываются магнитогидродинамические прямые преобразователи тепловой энергии в электрическую и т. д.

Так как все электротехнические устройства основаны на использовании электромагнитного поля их систем, состоящих из заряженных тел и контуров с токами, для решения многих задач необходимо привлечение теории этого поля со сложными математическими зависимостями. Однако в большинстве устройств используются ограниченные пути электрического тока и магнитного потока — изолированные проводники малого сопротивления и магнитопроводы из материала с высокой магнитной проницаемостью, называемые электрическими и магнитными цепями. Их расчеты могут быть значительно упрощены, так как не требуют знания составляющих поля в каждой точке устройств. Теория этих цепей основана на использовании интегральных величин: напряжения , заряда Q = , тока магнитного потока Ф = , намагничивающей силы (н. с.) F = (I — длина, S — площадь) взамен Е, D, Н и В, характеризующих поле. Взамен характеристик среды е, используются интегральные характеристики носителей полей: электрического — емкость C = , магнитного — индуктивность L = ( потокосцепление), а также преобразователя энергии поля в тепловую энергию — сопротивление .

Эти величины можно называть параметрами цепей.

Если эти параметры не зависят от токов и напряжений, уравнения теории цепей, связывающие интегральные величины, будут линейными; такие цепи называют линейными.

В ряде случаев, весьма важных для современной электротехники, эти параметры являются функциями напряжений и токов; тогда уравнения и цепи становятся н нелинейными.

Осуществление грандиозных планов дальнейшей электрификации нашей страны, эксплуатация существующих и создание новых электротехнических устройств требуют от инженера-электрика глубокого понимания физических процессов и умения производить их технический расчет. Фундаментом электротехнического образования является курс теоретических основ электротехники (ТОЭ), базирующийся на сведениях, сообщенных в курсах физики, математики и механики.

Настоящее учебное пособие ТОЭ построено в соответствии с изложенным. Вначале даны параметры цепей, потом основы теории источников и приемников электрической энергии. Затем следует анализ электрических и магнитных цепей при постоянном и переменном токе — линейных и на их основе нелинейных. Курс завершается теорией постоянного и переменного электромагнитного поля.

В книге принята Международная система единиц СИ и рационализованная форма написания уравнений, предложенная Хевисайдом, в которой основные соотношения для электрического и магнитного полей имеют симметричный вид, а множители 4 π и 2 π входят лишь в те соотношения, где они соответствуют характеру симметрии — сферической (4 π) и осевой (2 π).

Параметры электрических и магнитных цепей

Электрической цепью называется совокупность устройств, состоящая из источников, преобразователей и приемников электрической энергии и соединяющих их проводов, образующих замкнутые пути для электрического тока.

Часть цепи, не содержащая источников электрической энергии, называется пассивной, а часть цепи, содержащая источники, называется активной.

Как было показано во введении на примере линии передачи, электрическая цепь характеризуется тремя параметрами: сопротивлением R, емкостью С и индуктивностью L. Этими параметрами обладают все элементы цепей, например резисторы, в которых основную роль играет их сопротивление, конденсаторы с основным параметром — емкостью, и катушки индуктивности, в которых основной является их индуктивность.

Из изложенного вo введении очевидно, что параметры линии передачи равномерно распределены по всей длине линии. Параметры распределены также в отдельных элементах цепи. Например, в катушке индуктивности сопротивление, индуктивность и емкость распределены по ее длине, так как каждый виток с током имеет сопротивление и создает магнитное поле, а отдельные витки изолированного проводника обладают друг по отношению к другу некоторой емкостью.

Этим свойством обладают все реальные электрические цепи—они являются цепями с распределенными параметрами. Так как в ряде технически важных задач не требуется знания электромагнитных процессов в каждой точке всей цепи и ее элементов, необходимо учесть только их интегральные свойства; такие цепи могут быть представлены в виде цепей с сосредоточенными параметрами, состоящих из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Например, катушка индуктивности может быть представлена в виде схемы с последовательным соединением сопротивления R, индуктивности L и с параллельно приключенной к ним емкостью С.

При включении цепи на постоянное напряжение в течение короткого времени от источника потребляется энергия на создание электромагнитного поля. После этого запасенная в С и L энергия сохраняет свою величину неизменной и не отражается на работе цепи, а источники доставляют энергию только на покрытие тепловых потерь в сопротивлениях. Поэтому при расчете цепей постоянного тока следует учитывать только сопротивление R.

В цепях переменного тока энергия, запасаемая в С и L, и мощность потерь в R непрерывно изменяются. Поэтому при расчете этих цепей необходимо учитывать все три параметра.

Многие электрические цепи нелинейны. Так, например, температура, а следовательно, и сопротивление проводника при прохождении по нему тока изменяются; индуктивность катушки со стальным сердечником зависит от тока, так как с величиной тока будет меняться магнитная проницаемость р, сердечника, а следовательно, и индуктивность L. Однако в большинстве случаев цепи можно рассматривать как линейные, считая параметры R, L и С постоянными.

В устройствах современной электротехники главным образом используется энергия магнитного поля, поэтому их основным параметром является индуктивность L. Для этих устройств вводится понятие магнитной цепи как совокупности тел, большей частью ферромагнитных, в которых создается магнитный поток.

При постоянном токе методы анализа магнитных цепей аналогичны методам расчета электрических цепей, содержащих лишь один параметр — сопротивление R. Его аналогом в магнитных цепях является магнитное сопротивление .

Эта глава посвящена элементарным методам расчета параметров устройств, поля которых имеют простые виды симметрии. Более сложные случаи рассматриваются в теории электромагнитного поля.

Электрическая ёмкость и ее расчет

Для электрических цепей наибольший интерес представляет система двух проводящих тел в диэлектрической среде, заряды + Q и —Q которых отличаются только знаком, являющаяся по существу конденсатором. Емкость конденсатора равна отношению его заряда Q, под которым понимается абсолютное значение разноименных зарядов, к напряжению U между обкладками:

Емкость конденсатора, определяемая размерами и формой тел и их взаимным расположением, пропорциональна диэлектрической проницаемости е среды между обкладками. Емкость измеряется Б фарадах (ф), заряд в кулонах (к), напряжение в вольтах (в).

Для расчета емкости конденсатора по заряду и напряжению необходимо предварительно рассчитать его электрическое поле, исходя из общих соотношений для электрического поля.

Связь между зарядом и вектором смещения определяется обобщенной теоремой Гаусса:

справедливой для линейных и нелинейных сред и являющейся основным соотношением для электрического поля. В правой части этого равенства стоит суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности, в левой — поток вектора смещения. Смещение измеряется в к/м2, напряженность электрического поля — в в/м, диэлектрическая проницаемость в ф/м.

Поле в каждой точке характеризуется потенциалом ; его производная по любому направлению со знаком минус равна составляющей напряженности поля по этому направлению.

Напряжение между точками А и В, имеющими потенциалы , равно:

Потенциал также измеряется в вольтах.

Так как сумма напряжений по замкнутому пути равна нулю, то что является вторым основным соотношением для электрического поля.

Емкость коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой два проводящих соосных
цилиндра с радиусом внутреннего цилиндра r1 внутренним радиусом
внешнего цилиндра г2, длиной цилиндров I (рис. 1.1).

Пусть внутренний цилиндр — жила кабеля — заряжен положительно и изолирован диэлектриком с проницаемостью е от оболочки — обратного провода, являющегося внешним цилиндром и несущим заряд обратного знака, а напряжение между жилой и оболочкой равно U.

При выполнении условия , можно пренебречь искажением поля у концов кабеля и считать, что заряды распределены равномерно с линейной плотностью , а векторы напряженности поля и смещения направлены в каждой точке по радиусу и зависят от его величины; τ измеряется в к/м.
Для цилиндрической поверхности радиуса г, охватывающей заряженную жилу (на рис. 1.1 указана пунктиром), можно применить теорему Гаусса. Из- за радиального направления вектора смещения потоки через основания цилиндра равны нулю; остается лишь поток через боковую поверхность S.
Так как при неизменном радиусе смещение D остается постоянным, то

В последние выражения не входит радиус жилы, благодаря чему поле вне ее может рассчитываться как поле электрической оси с тем же зарядом т, совпадающей с геометрической осью жилы.

Напряжение на кабеле

откуда емкость кабеля

После подстановки из предпоследнего равенства

в выражение для напряженности поля получим

Исследование на минимум показывает, что наименьшее значение
максимальной напряженности при заданных напряжении и радиусе
внешней оболочки будет при

т. е. при так как вторая производная больше нуля.
При таком соотношении радиусов кабель, очевидно, обладает наибольшей электрической прочностью.

Емкость двухпроводной линии

Широко используемые в электротехнике двухпроводные линии передачи представляют собой систему двух прямых параллельных проводов кругового сечения (рис. 1.2). Провода оказываются заряженными разноименно, когда линия включена на напряжение.

Так как длина проводов I велика по сравнению с расстоянием d между их осями, искажением электрического поля у концов заряженных проводов можно пренебречь. Поэтому распределение поля в пространстве остается неизменным в любой плоскости, перпендикулярной осям проводов.

Пусть двухпроводная линия подвешена настолько высоко, что влиянием земли можно пренебречь. Напряжение на линии равно U, величина заряда на единицу длины — τ, радиус проводов — .

В отличие от коаксиального кабеля, где вследствие равномерного распределения заряда по поверхности жилы ее электрическая ось совпадает с геометрической, плотность зарядов на проводах линии больше на частях их поверхностей, обращенных друг к другу из-за притяжения разноименных зарядов. Поэтому расстояние между электрическими осями проводов становится тем меньше расстояния между их геометрическими осями, чем меньше отношение
Для воздушных линий и электрические и геометрические оси можно считать совпадающими. В точке М, лежащей на линии центров сечений проводов на расстоянии г от оси левого провода, напряженности поля, создаваемые каждым из проводов, совпадают по направлению, поэтому суммарная напряженность в этой точке

где — диэлектрическая проницаемость воздуха, а напряжение между ближайшими точками на поверхностях проводов

Отсюда емкость двухпроводной воздушной линии

Взаимоёмкость и ее расчёт

Для многих технических задач представляет интерес рассмотрение электрического поля, созданного системой нескольких пар разноименно заряженных тел. Заряды этих тел и напряжения связаны между собой линейными уравнениями.

В системе из двух конденсаторов (1-1′ и 2-2′ на рис. 1.3) все четыре тела связаны электрическим полем, поэтому заряд каждого из конденсаторов зависит от их напряжений и ; поле на рис. 1.3 показано для случая, когда потенциал тела I больше потенциалов тел 2 и 2′, а последние больше потенциала тела . Если заряд одного конденсатора, обусловленный
напряжением второго, совпадает по знаку с зарядом, создаваемым собственным напряжением, суммарные заряды обоих конденсаторов будут:

где — собственные емкости конденсаторов;
— взаимоемкость между первым и вторым конденсатором; — между вторым и первым; можно показать, что
Собственные емкости конденсаторов

определяются всеми четырьмя телами системы и отличаются от емкости каждого из этих конденсаторов, определенной при отсутствии другого.

При определении ёмкости условие = 0 означает, что второй конденсатор замкнут накоротко; при этом под воздействием поля первого конденсатора обкладки второго получили разноименные заряды.

Соответственно, при определении накоротко замыкается первый конденсатор.

т. е. равна отношению заряда на обкладках накоротко замкнутого одного конденсатора, когда его заряд создается напряжением другого, к этому напряжению.

Взаимоемкость определяется конфигурацией тел, образующих конденсаторы, их взаимным расположением и пропорциональна диэлектрической проницаемости среды.

При несовпадении знаков собственных зарядов, обусловленных емкостью, и взаимных зарядов, обусловленных взаимоемкостью, знак перед вторыми членами в выражениях (1.2) будет отрицательным. Взаимоемкость также измеряется в фарадах (ф).

Для системы многих конденсаторов, соответственно, заряд Qk
конденсатора k определяется всеми напряжениями:

где — собственная емкость конденсатора к; — взаимоемкость между конденсаторами k и р.

Взаимоемкость двух параллельных двухпроводных линий

Примером системы из четырех тел, рассматриваемой как совокупность двух конденсаторов, могут служить две параллельные линии, расположенные симметрично одна над другой (рис. 1.4).

Пусть радиус проводов расстояния между проводами в каждой линии
и расстояние между плоскостями обеих линий d, длина линий
Заряды на проводах первой линии замкнутой накоротко можно найти как разность зарядов, создаваемых напряжением через емкости Са между парами проводов на одной стороне линий с расстоянием между этими проводами а = между парами противолежащих проводов с расстоянием Каждая из пар одинаковых емкостей соединена последовательно и их общая емкость вдвое меньше.

Тогда, соответственно формуле (1.1), получается

а собственная емкость первой линии при учете второй линии равна

Такая задача представляет технический интерес, позволяя определить влияние линии передачи 2 на линию связи 1 (рис. 1.4).

Это влияние состоит в наведении на проводах линии связи заряда взаимоемкости Так как отношение этого заряда к собственному заряду равно

а напряжение линии передачи во много раз превышает напряжение
линии связи, то для уменьшения наведенного заряда необходимо увеличивать расстояние d между линиями и уменьшать расстояние
между проводами линии связи.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник