Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса
Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.
Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.
Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).
Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.
Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Тогда
Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:
Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:
откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости
Поле двух равномерно заряженных плоскостей
Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .
Тогда внутри плоскостей
Вне плоскостей напряженность поля
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.
Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:
где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то
Это формула для расчета пондермоторной силы.
Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).
Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен
При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда
Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).
Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.
Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:
Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).
Поле заряженного пустотелого шара
Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).
Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда
откуда поле вне сферы:
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:
Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
Поле объемного заряженного шара
Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:
Таким образом, внутри шара
Источник
Учебники
Журнал «Квант»
Общие
Теорема Остроградского—Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей
Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S (рис. 2), окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали \(
\vec n\). В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos α = 1.
Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда \(
Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность
Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы, а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 2, а — поверхность изображена штрихами), то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 2, б), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же внутри поверхности площадью S1 (см. рис. 2) заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (NS = 0).
Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов (рис. 3) и
Эта формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.
Применим эту теорему для расчета электростатических полей некоторых проводников.
Равномерно заряженная бесконечная плоскость
Пусть σ — поверхностная плотность заряда на плоскости (рис. 4).
В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (α = 90°, cos α = 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q = σS, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса, \(
2ES = \frac<\sigma S><\varepsilon_0 \varepsilon>\), где ε = 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости
Бесконечная равномерно заряженная нить
Пусть τ — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной Δl и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 5).
Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность \(
N = E \cdot 2 \pi R \Delta l\), где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (α = 90°, cos α = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр
Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, q = τ · Δl.
Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать \(
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 220-222.
Источник
Поле бесконечной нити
Линейная плотность заряда
– заряд, приходящийся на единицу длины:
.
Разность потенциалов между точками 1
и 2
поля, лежащими на расстоянии r 1
и r 2
от оси цилиндра:
3. Поле заряженной сферической поверхности
Видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.
Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью
. Поток векторачерез поверхность радиусомr R
(R
– радиус шара) равен
Заряд внутри сферы радиусомr равен:
.
и
За пределами равномерно заряженного шара выражение для E A
будет таким же, как и полученное нами для полой сферы
, только величинаq будет равняться V :
Разность потенциалов для точек, лежащих на расстоянии r R
от центра шара:
и для точек, лежащих на расстоянии r R
от центра шара:
2. Проводники в электрическом поле.
Проводниками
называют тела, которые хорошо проводят электрический ток, в которых есть свободные электрические заряды, способные перемещаться по всему объему проводника.
Условия равновесия зарядов на проводнике:
Найдем величину E
вблизи поверхности проводника: проведем цилиндрическую поверхность сечением dS
с образующей, перпендикулярной поверхности проводника и параллельной вектору . По теореме Гаусса:
Поскольку внутри проводника E =0,
а в непосредственной близости от поверхности , то это значит, что при переходе из проводника в пространство за проводником (в воздух) значениеизменяется от 0 до.
Среднее значение напряженности поля на поверхности проводника получается равным:
Сила, с которой поле проводника действует на заряд, расположенный на его поверхности dS , равна:
Давление, испытываемое поверхностью проводника и обусловленное избыточными зарядами на его поверхности, равно:
При помещении незаряженного проводника в электрическое поле имеющиеся на нем заряды приходят в движение – на противоположных поверхностях возникают избыточные электрические заряды противоположных знаков.
Возникающие на поверхности заряды создают свое поле, которое в точности равно внешнему, но противоположно по направлению – внутри проводника (в полости) поле отсутствует.
Перераспределение зарядов в проводнике под действием внешнего поля происходит до тех пор, пока силовые линии не окажутся перпендикулярными поверхности проводника.
Равенство нулю напряженности поля в полости проводника используют для реализации электрической защиты, причем оказалось, что электрическая защита получается достаточно хорошей не только в случае сплошной металлической оболочки, но и в случае использования мелкой металлической сетки.
Соединение проводником какого-либо тела с землей называют заземлением. При заземлении заряженных проводников, в том числе и тела человека, они теряют заряд и их потенциал будет равен потенциалу земли. Заземление корпусов приборов и аппаратов способствует их безопасной эксплуатации, т.к. исключает возможность для персонала оказаться под напряжением корпуса аппарата и земли.
Рассмотрим несколько примеров расчёта электростатических полей с помощью теоремы Гаусса.
1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной прямолинейной нити
Рассмотрим равномерно заряженную бесконечно длинную нить. Линейная плотность заряда равна .
Заряд, равномерно распределённый по нити, обладает симметрией – он симметричен относительно оси.
Поскольку расстояние от эле-ментарных зарядов до этой точки одинаково, модули напряжён-ностей Е
1 и Е
2 одинаковы. Поэтому результирующая напряжённость
Очевидно, что и в других точ-ках, расположенных на таком же расстоянии от нити, напря-жённость будет иметь такую же величину и направление.
Элементарные заряды и точка в поле были выбраны случайно, поэтому вывод справедлив как для всех остальных элементарных зарядов, так и для всех точек поля.
Это означает, что электрическое поле, созданное заряженной нитью, симметрично относительно оси нити. Другими словами – симметрия поля тождественна симметрии заряда, создающего поле.
Таким образом, векторы напряжённости во всех точках окружающего пространства перпендикулярны нити и модули напряжённости на одинаковых расстояниях от нити одинаковы.
Расчёт напряжённости поля с помощью теоремы Гаусса следует начинать с получения выражения для потока вектора Е
.
В свою очередь, выражение для потока следует начинать с выбора формы замкнутой поверхности и её положения относительно источника поля.
Расчёт потока будет максимально прост, если выбрать такую поверхность, симметрия которой идентична симметрии создаю-щего поле заряда.
В данном случае удобно пользоваться замкнутой поверхностью с осевой симметрией.
Такой поверхностью является цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Пусть высота цилиндра равна l , а радиус основания – r .
Поток вектора напряжённости поля, созданного нитью, складывается из потока через торцевые поверхности цилиндра и потока через боковую поверхность.
Поток через торцевые поверхности равен нулю, так как векторы напряжённости перпендикулярны нити и, соответ-ственно угол между векторами Е
и n
равен 90 0,
.
Поток через боковую поверхность
.
Поскольку все точки боковой поверхности расположены на одинаковых расстояниях от нити, модули напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра одинаковы, т. е.
.
Таков вид выражения для потока вектора рассчитываемой напряжённости.
Следующий этап вычисления напряжённости электро-статического поля – расчёт суммарного заряда, охваченного замкнутой поверхностью.
Заряд, охваченный поверхностью s , можно найти так:
.
Тогда, по теореме Гаусса,
.
.
Таким образом, напряжённость электрического поля, создан-ного равномерно заряженной нитью, прямо пропорциональна линейной плотности заряда нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити до интересующей нас точки.
Обратите внимание – напряжённость обратно пропорцио-нальна первой степени расстояния от нити (напряжённость поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда).
21. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от провода.
22. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R 1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ 1 = 0,2 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R 2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ 2 = – 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) r 1 = 1 мм; 2) r 2 = 2 мм; 3) r 3 = 5 мм.
23. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м 2 бесконечной плотностью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?
24. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?
25. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы.
26. В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определить: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра, выразив её в электрон-вольтах.
27. Кольцо радиусом r = 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние a = 10 см от центра кольца.
28. На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1м равно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.
29. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q = 10 нКл. Оп потенциал φ электростатического поля: 1) на поверхно шара; 2) на расстоянии a = 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости φ(r).
30. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ 1 = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, φ 2 = 40 В.
31. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии r = 10 см от заряда потенциал равен φ = 100 В.
32. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ = 5 нКл/м 2 Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.
33. Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии r = 0,5 м от нити.
34. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния r 1 = 5 см и r 2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.
35. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 1 см до r 2 = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с Определите линейную плотность заряда нити.
37. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.
38. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r 1 = 5 см и r 2 = 15 см от поверхности сферы.
40. Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R=1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях 1) r 1 = 1,5 м и r 2 = 2 м; 2) r 1 «= 0,3 м и r 2 » = 0,8 м.
во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).
. Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:
.
, то
, где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).
для боковой поверхности 
т.е. зависит от расстояния r. 
на поверхности будет заряд 
По теореме Остроградского-Гаусса 
, отсюда
, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).
), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при 
, получить нить.
,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).
; 
– объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:
. 
получилось таким же, как и для точечного 
. 
Заряд 
.
и
, 
, 
изменяется от 0 до
.
.
.
.
.
.
