электрическое поле бесконечной нити

Электрическое поле бесконечной нити

tr c w

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса back go

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

071

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность 005во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность 005будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

072
Рис. 2.11 Рис. 2.12

Тогда 073

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

076

Внутри поверхности заключен заряд 077. Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости 080

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей 081.

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля 083

085 084

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. 089, то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью 091, где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

092

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров 093для боковой поверхности 094т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора 005через рассматриваемую поверхность, равен 095

При 096на поверхности будет заряд 097По теореме Остроградского-Гаусса 098, отсюда

Если 100 101, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

102

Если уменьшать радиус цилиндра R (при 103), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при 104, получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

106

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

107

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, 005– в любой точке проходит через центр шара. 108,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если 096то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при 100поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: 111

113 112

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при 100сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

115

где ρ – объемная плотность заряда, равная: 116; 117– объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара 120

Источник

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

Теорема Остроградского—Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей

Img T 66 002

Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S (рис. 2), окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали \(

\vec n\). В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos α = 1.

Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда \(

Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность

Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы, а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 2, а — поверхность изображена штрихами), то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 2, б), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же внутри поверхности площадью S1 (см. рис. 2) заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (NS = 0).

Img T 66 003

Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов (рис. 3) и

Эта формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.

Применим эту теорему для расчета электростатических полей некоторых проводников.

Равномерно заряженная бесконечная плоскость

Пусть σ — поверхностная плотность заряда на плоскости (рис. 4).

Img T 66 004

В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (α = 90°, cos α = 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q = σS, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса, \(

2ES = \frac<\sigma S><\varepsilon_0 \varepsilon>\), где ε = 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть τ — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной Δl и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 5).

Img T 66 005

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность \(

N = E \cdot 2 \pi R \Delta l\), где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (α = 90°, cos α = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, q = τ · Δl.

Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать \(

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 220-222.

Источник

Поле бесконечной нити

Линейная
плотность заряда



– заряд, приходящийся на единицу длины:

nyscreenrya

33rescreenma.

Разность потенциалов
между точками 1

и 2

поля, лежащими на расстоянии r
1

и r
2

от оси цилиндра:

8937398c8

3.
Поле заряженной сферической поверхности

Видно, что выражение
для
712 img FNXphIполучилось таким же, как и для точечного
заряда.

4567419

Шар, представляющий
собой диэлектрик, может быть внутри
равномерно заряжен с объемной плотностью

aa101a.
Поток вектора712 img FNXphIчерез поверхность радиусомr

R

(R

– радиус шара) равен

3827482Заряд
внутри сферы радиусомr
равен:

f59 img.

img363и

3aa3aa img o6JNVQ

За пределами
равномерно заряженного шара выражение
для E
A

будет таким
же, как и полученное нами для полой сферы

85842924,
только величинаq
будет
равняться
V
:

1alyfullsizemu1

Разность потенциалов
для точек, лежащих на расстоянии r

R

от центра шара:

2042a1a4f1d2813108058a22be12

и для точек, лежащих
на расстоянии r

R

от центра шара:

9b9vilsmallwos

2. Проводники в электрическом поле.

Проводниками



называют тела, которые хорошо проводят
электрический ток, в которых есть
свободные электрические заряды, способные
перемещаться по всему объему проводника.

Условия
равновесия зарядов на проводнике:

8spicq8

fscreenshot vc3

Найдем величину
E

вблизи поверхности проводника: проведем
цилиндрическую поверхность сечением
dS

с образующей, перпендикулярной
поверхности проводника и параллельной
вектору
712 img FNXphI.
По теореме Гаусса:

kpicda5a3f

Поскольку внутри
проводника E
=0,

а в непосредственной близости от
поверхности
e9etytimagesbib,
то это значит, что при переходе из
проводника в пространство за проводником
(в воздух) значение5076925изменяется от 0 доe9etytimagesbib.

Среднее значение
напряженности поля на поверхности
проводника получается равным:

7f2 img oqbfAV

Сила, с которой
поле проводника действует на заряд,
расположенный на его поверхности dS
,
равна:

wufile je

Давление, испытываемое
поверхностью проводника и обусловленное
избыточными зарядами на его поверхности,
равно:

caimg me

При помещении
незаряженного проводника в электрическое
поле имеющиеся на нем заряды приходят
в движение – на противоположных
поверхностях возникают избыточные
электрические заряды противоположных
знаков.

Возникающие на
поверхности заряды создают свое поле,
которое в точности равно внешнему, но
противоположно по направлению – внутри
проводника (в полости) поле отсутствует.

Перераспределение
зарядов в проводнике под действием
внешнего поля происходит до тех пор,
пока силовые линии не окажутся
перпендикулярными поверхности проводника.

Равенство нулю
напряженности поля в полости проводника
используют для реализации электрической
защиты, причем оказалось, что электрическая
защита получается достаточно хорошей
не только в случае сплошной металлической
оболочки, но и в случае использования
мелкой металлической сетки.

Соединение
проводником какого-либо тела с землей
называют заземлением. При заземлении
заряженных проводников, в том числе и
тела человека, они теряют заряд и их
потенциал будет равен потенциалу земли.
Заземление корпусов приборов и аппаратов
способствует их безопасной эксплуатации,
т.к. исключает возможность для персонала
оказаться под напряжением корпуса
аппарата и земли.

Рассмотрим
несколько примеров расчёта электростатических
полей с помощью теоремы Гаусса.

1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной прямолинейной нити

Рассмотрим
равномерно заряженную бесконечно
длинную нить. Линейная плотность заряда
равна .

Заряд,
равномерно распределённый по нити,
обладает симметрией – он симметричен
относительно оси.

Поскольку
расстояние от эле-ментарных зарядов до
этой точки одинаково, модули напряжён-ностей
Е

1
и Е

2
одинаковы. Поэтому результирующая
напряжённость

Очевидно,
что и в других точ-ках, расположенных
на таком же расстоянии от нити,
напря-жённость будет иметь такую же
величину и направление.

Элементарные
заряды и точка в поле были выбраны
случайно, поэтому вывод справедлив как
для всех остальных элементарных зарядов,
так и для всех точек поля.

Это
означает, что электрическое поле,
созданное заряженной нитью, симметрично
относительно оси нити. Другими словами
– симметрия поля тождественна симметрии
заряда, создающего поле.

Таким
образом, векторы напряжённости во всех
точках окружающего пространства
перпендикулярны нити и модули напряжённости
на одинаковых расстояниях от нити
одинаковы.

Расчёт
напряжённости поля с помощью теоремы
Гаусса следует начинать с получения
выражения для потока вектора Е

.

В
свою очередь, выражение для потока
следует начинать с выбора формы замкнутой
поверхности и её положения относительно
источника поля.

Расчёт потока
будет максимально прост, если выбрать
такую поверхность, симметрия которой
идентична симметрии создаю-щего поле
заряда.

В данном случае
удобно пользоваться замкнутой поверхностью
с осевой симметрией.

Такой
поверхностью является цилиндр, ось
которого совпадает с нитью. Пусть высота
цилиндра равна l
,
а радиус основания – r
.

Поток
вектора напряжённости поля, созданного
нитью, складывается из потока через
торцевые поверхности цилиндра и потока
через боковую поверхность.

Поток
через торцевые поверхности равен нулю,
так как векторы напряжённости
перпендикулярны нити и, соответ-ственно
угол между векторами Е


и n


равен 90 0,

55e img bSlEVf55e.

Поток через боковую
поверхность

e9f img tjY26Pe9f5e.

Поскольку
все точки боковой поверхности расположены
на одинаковых расстояниях от нити,
модули напряжённости во всех точках
боковой поверхности цилиндра одинаковы,
т. е.

zscreenshot t7d90f.

Таков
вид выражения для потока вектора
рассчитываемой напряжённости.

Следующий этап
вычисления напряжённости электро-статического
поля – расчёт суммарного заряда,
охваченного замкнутой поверхностью.

Заряд,
охваченный поверхностью s
,
можно найти так:

4ba914ba.

Тогда, по теореме
Гаусса,

c4hypicqe

1253145830ea83ed89bd5add40d.

ampickb1705.

Таким образом,
напряжённость электрического поля,
создан-ного равномерно заряженной
нитью, прямо пропорциональна линейной
плотности заряда нити и обратно
пропорциональна расстоянию от нити до
интересующей нас точки.

Обратите внимание
– напряжённость обратно пропорцио-нальна
первой степени расстояния от нити
(напряжённость поля точечного заряда
обратно пропорциональна квадрату
расстояния от заряда).

21. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от провода.

22. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R 1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ 1 = 0,2 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R 2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ 2 = – 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) r 1 = 1 мм; 2) r 2 = 2 мм; 3) r 3 = 5 мм.

ceimg wie5a79

23. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м 2 бесконечной плотностью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

qavimage cac

24. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

780 24

25. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a
= 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы.

98d 25

26. В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определить: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра, выразив её в электрон-вольтах.

11b9 26

27. Кольцо радиусом r = 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние a
= 10 см от центра кольца.

2433539

28. На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1м равно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.

29. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q =
10 нКл. Оп потенциал φ
электростатического поля: 1) на поверхно шара; 2) на расстоянии a
= 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости φ(r).

30. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ 1 = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, φ 2 = 40 В.

9479756

31. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии r = 10 см от заряда потенциал равен φ = 100 В.

ededddfbd321262ada87

32. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ =
5 нКл/м 2 Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

dc9 32

33. Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии r =
0,5 м от нити.

34. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния r 1 = 5 см и r 2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

xscreenshot d8

35. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 1 см до r 2 = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с Определите линейную плотность заряда нити.

df39ec94ba509af93ef21b69

37. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.

7bfba

38. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r 1 = 5 см и r 2 = 15 см от поверхности сферы.

ffffb 39ff

40. Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R=1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях 1) r 1 = 1,5 м и r 2 = 2 м; 2) r 1 «= 0,3 м и r 2 » = 0,8 м.

Источник

Adblock
detector